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[爆卦]極限連續定義是什麼？優點缺點精華區懶人包

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極限連續定義 在 瑋璘ʕ •ᴥ•ʔ Instagram 的最佳貼文

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  • Jeff Machine 黃育仁

    極限連續定義 在 Jeff Machine 黃育仁 Facebook 的最佳解答

    2021-08-23 19:05:35
    有 152 人按讚

    三歲的時候，「神」在幹嘛？

    在任何領域，能夠被視為指標性人物超過十年，
    而且生涯二十八年不論狀態好壞都毫不鬆懈，
    並能持續得到所有人極高的尊敬，
    這樣的生涯與成就，
    用「只有天才能達到的超凡境界」、
    「神一般的存在」來形容完全不為過。
    我不是棒球迷但一樣知道，鈴木一朗，
    是棒球界獨一無二的存在。
    看完「天才的人日力 鈴木一朗：51則超越野球的人生智慧」後，
    身為運動員的我，對「天才」這個字，有了更深的體認與想法。

    鈴木一朗的生涯成就到底是什麼境界？
    為不是棒球迷的朋友們，
    「簡單」列出幾個他創下的驚人紀錄：
    （從大聯盟官網列出他最不可思議的二十項數據中，節取幾項）
    1． 美日通算4367支安打，在2016年成為金氏世界紀錄認證的「世界職棒安打王」
    2． 大聯盟生涯3089支安打
    3． 2001年拿下美聯打擊王、新人王、MVP三項大獎，至今仍是史上唯一。
    4． 在大聯盟兩度刷新單季最多安打紀錄
    （2001年242支，2004年262支）
    5． 生涯前十年都拿下金手套獎，名人堂補手Johnny Bench之後大聯盟第一
    6． 美日生涯連續十七座外野金手套獎
    （日本1994~2000，大聯盟2000~2010）。

    能創下這些被形容為「不可思議」的紀錄，
    是單單「天份」兩個字可以完成的嗎？
    看完書你會得到很清楚的解答。
    了解整個人生歷程後，對他的敬意有增無減，
    而且就像我們上次聊到的：
    天才不可怕，偏執狂才恐怖。

    看完書後有三個心得分享給大家：

    一、「我從三歲就開始打棒球，而且我一直非常努力。」
    三歲的時候我們在幹嘛？
    對自已三歲的時候做過什麼事我連記憶都沒有，
    但從三歲開始，一朗的人生已經跟棒球已經產生深刻的交集了。
    三歲那年，父親宣之送給他人生第一個棒球手套：亮紅色的真皮手套。
    這個手套花了父親半個月的薪水，
    是當時他們所能買到最貴、最好的手套。
    父親宣之說：「這不是玩具，而是教導他何謂事物價值的工具。」
    從那時開始，一朗走到哪裡都帶著這個手套，
    在家裡也會跟父親傳接球、模仿揮棒的動作，
    把它當成最珍貴的寶物。
    「我被教導要重視工作的用具」
    「善待球具，你才能成為更好的球員。」

    進了小學之後，一朗對棒球所付出的心力，
    已經到達我們無法想像的程度。
    在他小學六年級的所寫的那篇著名畢業作文〈我的夢想〉中提到：
    「從三年級到現在，
    一年三百六十五天當中我有三百六十天都在激
    烈地練習。」
    一個十歲大的孩子，
    每天下午三點放學開始練習到晚上十一點
    （這是他由父親陪著一起確實進行訓練的時間，
    不是「玩耍」或是「打球」，
    而是內容非常明確的訓練，
    包括練投、練打、守備練習、打擊場練習…等）
    （六年級的時候，發球機球速120公里的球一朗已
    經能打得輕鬆愉快，練習場還特別改裝發球
    機，將極速調整成130公里，而一朗依然可以駕
    輕就熟的打擊。
    到了十五歲，練習場經理和父親宣之乾脆將本
    壘板往前推移兩公尺，就為了模擬時速150公里
    的速球，這已經跟當時日本職棒投手的球速相
    去不遠了。）
    而〈我的夢想〉這篇畢業作文之所以有名，
    除了能看到一朗從小學就開始認真投入志向，
    也顯露出他早熟而沉穩的一面
    「我的夢想是成為一流的職業棒球選手。
    為了實現這個夢想，
    我必須在中學及高校階段打進全國大賽，
    並表現活躍。
    為了能活躍於球場，練習是必要的。」
    文中清晰的描述他對未來的規劃，
    什麼年齡要達到什麼任務，
    每個環節都鉅細靡遺，
    口吻之堅定與老練，目標之具體與明確，
    完全不像一個小學畢業生會寫的文章。
    當然，小時候我們都有自已的夢想，
    （我小學時的夢想是當軍人跟生物學家）
    每個人都會想像出自已想要的不同未來，
    但是在那個年紀，有多少人能像一朗，
    具體規劃出達成夢想的步驟跟目標
    並願意犧牲小朋友最寶貴的玩樂時間，
    紮紮實實的一步步朝著夢想前進？
    從一般人還懞懞懂懂的年紀開始，
    他就在默默進行超乎想像的訓練，
    「天才」，無法述說他的偉大，
    也無法定義這些名留青史的人們留下的軌跡。

    二、「持之以恆的規律」
    對一朗來說，「努力」、「規律」、「挑戰」這些詞語，比「天才」、「成功」更有意義。
    關於「天才」，一朗說過：
    「如果大家認為不努力也有成就的人是天才，那
    我不是天才；
    如果努力之後完成一些事的人被稱為天才，我
    想我是天才。」
    「我從不覺得自已是天才，
    只要回顧自已每天做了多少折磨人的練習，
    就不會這樣想了。」
    天賦的條件，一朗絕對有，
    對「天才」這個形容詞的否定，
    不是他無謂或虛偽的自謙，
    而是自已一路走來，他很清楚自已付出多少，
    用這麼單薄的字眼來形容，
    是膚淺，是外行人才會有的變相傲慢。
    在職業運動的世界裡，
    競爭激烈的程度是一般人連想像都達不到，
    光是能跨進「世界」這個領域，
    就已經是萬中選一的精英們都難以企及的目標，
    而在世界級的殿堂能稱雄的強者們，
    為了完成挑戰達成目標所投入的心力，
    與過程中刻苦磨鍊出來的超凡精神力，
    讓他們可以日復一日的重複艱苦的訓練，
    可以承擔足以令人崩潰的精神壓力。
    他們對成功的執著與想法，
    跟凡人想像中「天才」的輕鬆寫意或瀟灑，
    是截然不同的。

    關於「成功」，一朗說過：
    「『成功』是非常模糊的事，沒有必要去追求他
    人所認為的『成功』。」
    「其實我很討厭『成功』這個字眼，
    ……如果用『成功』當判斷基準，覺得會成功才
    去嘗試，覺得不可能成功，就連試都不試，
    這樣將來一定會後悔的。
    對於自已想做的事，就放手去挑戰吧！
    不是因為覺得能成功才去做，
    而是發自內心地想要嘗試看看，
    這樣不管結果如何，自已都不會後悔。」
    我相信能在歷史上佔有一席之地的頂尖人物們，他們的求勝慾望跟他們的實力絕對成正比，
    但是心中帶著追求成功的強烈渴望的同時，
    能夠冷靜否定世俗價值觀下的成功，
    而以內心的聲音與自我期許作為衡量標準，
    這才是讓他們可以持續超越巔峰的動力。
    取得勝利、拿到冠軍榮耀，對他們來說，
    都只是一個通過點，
    不是他們生涯唯一的目標。

    關於「夢想」，一朗說過：
    「達成夢想與目標的方法只有一個，就是累積微
    不足道的小事。」
    一朗的夫人弓子，曾經說過一個生活小故事，
    關於她看到一朗為了努力所培養的驚人習慣：
    「躺著睡覺的時候，
    他每隔一段時間就會翻身朝反方向睡，
    然後一直重複相同的動作。
    有一次我問他為什麼，
    他說：『因為老是將身體的重量壓在同一邊的
    手腕和肩膀上睡，會破壞身體的均衡，所以即
    使是睡覺也要小心。』」
    就連睡覺的時候，他都惦記著自已的身體狀況，
    以隨時維持最佳狀態為最高原則，
    羨慕他的成就的同時，靜下心想想，
    為了完成目標，我們願意付出多少？

    對於努力，一朗說過：
    「將有限的時間資源花在最重要的事情上」
    「沒有做好充分的準備，就沒有資格談論自已的
    目標。」
    「每天練到精疲力竭是我的目標，
    而我也做到了」
    「我不敢說自已比任何人都還要努力，
    但我內心有一把尺衡量自已的極限，
    每次一點一點去超越極限，然後不斷重複。
    因為這樣，我才能成為現在的我。」
    「所謂的『準備』，
    就是排除任何可能成為藉口的因素，
    並且竭盡所能去做到所有你想得到的事。」
    「我每天都傾盡全力，毫無保留。
    如果還有餘力，那就是我的問題。」
    「世人對我評價不一，這是他們的自由，
    但我不會因此而感到困惑。」
    把外在影響降到最低，
    用毫不懈怠的精神，透過無止境的自我提升，
    把可控制的因素全部牢牢掌握在自已手上
    這是所有領域的頂尖人士，共同具有的心態。
    至於天才不天才，在他們的心裡，
    根本容納不下這麼淺薄的念頭。

    三、「天才的人間力」
    作者在書中所講述了另一段精采的故事（也是書名）：
    「小久保裕紀，另一位日本職棒的明星球員，
    曾在1995年，
    從一朗手下搶走「全壘打王」的寶座
    （當年所有跟打擊有關的獎項，
    除了「全壘打王」之外，都是一朗得到）
    但他在1996年開季陷入低潮，
    心態也開始焦慮起來。
    與一朗在明星賽前一起跑步熱身時，
    小久保忍不住問一朗：
    「你打球的動力從來沒有減少過嗎？」
    一朗反問：
    「小久保桑難道只是為了數據在打球嗎？」
    小久保回答：
    「可能吧，因為我如果沒有打出應有的數據，
    先發地位就不保了。」
    就在這時候，一朗凝視著小久保的眼睛，
    緩緩道出自已打球的動機：
    「我的內心有一顆亟待琢磨的石頭，
    透過棒球，我要讓它閃閃發光。」
    聽完一朗這句話，小久保為自已問了這樣的問
    題而感到羞愧滿臉漲紅。
    一朗打球不是單為了追求成功與數據，
    而是希望透過棒球，透過他的投入與熱情，
    打磨他的『人間力』，
    指的是作為一個人的綜合能力，
    著重在為人處事的修養與智慧。」
    透過這個故事，我們很清楚的看到，
    一個追求偉大的人，
    他的眼界與心態跟同儕相比，
    是在完全不同的次元，
    如果空有天份，沒有自覺，
    沒有歷經刻苦的訓練與人生經驗，
    不可能達到一朗跟其他英雄人物們的高度。
    即使是眾人口中的「天才」，
    他們仍然把自已當成「人」，
    然後即使天賦爆棚，
    卻依然比所有人都付出更多。

    雖然鈴木一朗與他所代表的這些英雄們，
    與我們的距離如此遙遠，
    但是不要忘了，我們可以在遠望他們，
    看著他們高高在上的同時，
    用心塑造我們自己的人生，
    培養自已的「人間力」，
    透過熱情與付出，淬鍊自已的修養與智慧；
    也不要忘了一朗說的，
    不要在意何謂「成功」，放手去挑戰，
    也不要忘記把他對「努力」的看法與堅持，
    當作我們要時時刻刻提醒自已的動力，
    連「神」都努力不懈，我們身為凡人，
    又怎能坐看自已的人生就此一無所成呢？
    就算咬緊牙關咬到牙都裂了，
    我們也值得在生命中，留下屬於自已的印記。

  • Hot Drive / 熱駕 - 經典90

    極限連續定義 在 Hot Drive / 熱駕 - 經典90 Facebook 的精選貼文

    2021-08-21 17:42:47
    有 380 人按讚

    花3台Yaris的錢買GR Yaris是傻子嗎？

    再次試駕GR Yaris有感 By 政義總編

    影片連結：https://youtu.be/Mn8iSBdSF-0

    這個大雨滂沱的場景很熟悉，去年差不多這個時候我開著全新Focus ST跑了大半段北宜，德國鋼砲的嚴謹與紮實讓開慣E46 M3的我很是驚艷。今天的主角是GR Yaris，還有乍看之下像是前代祖宗的Yaris GRMN…。

    類似「三缸」、「1.6升」、還有「Yaris」這些名詞可能框架了我們的想像，Yaris啥時跟賽道或是駕駛樂趣扯上關係了？三缸馬力大？會不會像BMW i8只能靠假聲浪來自我催眠，1.6升壓榨272hp動力？加速肯定是快了，但快一定代表樂趣嗎？4WD雖然提高了極限，但徒增100公斤左右的重量，GR-Four是利還是弊？我相信很多跟我一樣對駕駛近乎龜毛的的人來說，都是個大問號…

    說真的，除了坐姿偏高，有些地方看起來像Yaris（第四代），閉上眼睛我真的找不到任何跟Yaris有關的連結。厚實方向盤左右死點只有2.3圈，6速iMT手排檔位清晰、行程短捷，儀表板上紅線標示著7000rpm，四輪驅動狀態與增壓錶都是GR Yaris獨有的設計。坐在車內聽到的聲浪遠比車外雄渾，當然這是音響系統聲浪增強的效果，3缸的原始聲浪應該很難讓人澎湃。

    在綿延的下坡彎道組合中，我的節奏愈來愈快，四驅監控儀錶上的柱狀圖不斷上下地竄動，急加速時四輪驅動力循序增加，轉彎給油時外側輪會分配到較多動力。習慣性地進彎前急煞循序退回2擋，油門與煞車踏板高度有些許落差，手動跟趾並不像STi或是M3那樣翻一下腳掌就能處理，還好iMT補油計算很確實，甚至會多拉一點轉速提供降檔的牽引力道，略微減少煞車力道看准彎心丟進彎道，當我一邊修正方向盤角度，一邊嘗試著給油維持較高的引擎轉速，這時四驅的特性便展露無遺，一般速度下四輪就像軌道車一般緊咬路面，四驅分配顯然將穩定的車身姿態擺在第一順位，刻意多帶點轉向加深油門，當前驅的GRMN必須鬆油抑制推頭，GR Yaris卻可以用四輪滑走的姿態，透過油門與轉向的修正，從容地在組合彎中維持最佳路線，在幾個髮夾彎中，刻意扭擺的車身其實更像是一種表演，儀表循跡警示象徵性地閃了幾下，四條PS4S輪胎稍微滑一下很快又牢牢抓住地面。

    看准出彎路線一腳踩盡油門，四驅最大的魅力就在出彎時四條輪胎咬住地表，扭擺著絕塵而去那瞬間的快感，前輪幫忙拉一把的GR-Four同樣在出彎地板油時機上幫了大忙，我試著以2擋維持扭力峰值比較暴力地出彎，車尾的動態完全聽從轉向的指令，Sport模式下確實會給轉向多點積極性，但我認為GR Yaris的WRC之魂就是要50：50，而這個Track我並不定義為賽道模式，我認為「循跡模式」之於GR Yaris更加貼切，尤其在低摩擦崎嶇路面上，50：50才是GR Yaris盡顯WRC精髓的絕佳舞台。

    充滿炫技成分的四驅

    就操控表現來看，四驅結構雖然增加了一些重量，但明顯讓整體的可玩性提昇了不只一個等級，相較於前驅偏高速設定的GRMN（MN代表Master of Nurburgring），一般模式下的GR Yaris足以用軌道車來形容，沒有三兩三，想要Spin轉圈圈還不是件容易的事。再者，不到4米的車長，短軸距與加寬的輪距（尤其是後輪），加上GR賽車WRC部門的調校，GR Yaris應對激烈操駕時車身姿態的控制極為出色，一般行駛提供了不錯的舒適性，當過彎激烈壓縮阻尼時支撐變得強硬，底盤離地高度既保持各種惡劣路況的適應能力，又能在柏油路面上以絕佳的抓地性能應付各種激烈操駕。

    好吧，我其實不太會形容那進彎、出彎、漸進給油，然後一腳油門到底沖過紅線挺進3擋的感覺，加速度稱不上狂暴，再加速反應靈敏，加速感相當線性，沒有傳統渦輪車的壓迫感。北宜過了山頂雙向各只有一個車道，稍長的直線可以輕鬆3擋拉到紅線，經常暴雨加上施工緣故路面狀況不是太好，路面兩側冷不防有些碎石，讓我意外的是GR Yaris應付這樣的路面讓人心安，雖然底盤比起GRMN略高，但減震筒在快速起伏的路面可以有效吸收緩衝，並且很快抓住路面。再者，來自TNGA框架GAC平台的後四連桿有別於GRMN的非獨立後軸，這套懸吊針對GR Yaris特性保留了仰角可調的空間（這意味著原廠早就預留了降車身的可能），獨立後懸吊在連續快速彎道中可以很有韻律地轉移重心，同時在出彎給油那一下提供絕佳的抓地力，彎中彈跳更不會有多餘的不安扭擺。

    豐田章男的微笑

    繞了一圈回到停車場，不斷加快的速度並沒有讓我太過緊繃，至少比起我習慣的手排E46 M3要閒適多了。回想起2002年我在英國測試第一代Focus RS，那是Focus與Colin Mcrae在WRC最風光的年代，那時的Focus RS脾氣就像WRC廠車一般，性格極其暴躁，而同樣純正WRC血統的GR Yaris，延續日本車的淳厚性格，從容不暴躁，強勁的動力加上四驅，任何路況與駕駛風格都能見招拆招，深不見底的實力，我彷彿看到豐田章男燦爛微笑背後的涵意。

    對了，偷偷告訴你，拉起手煞車的同時會自動釋放中央差速器，言下之意就是工程師鼓勵你帶著油門拉手煞車過彎，光這點就足夠WRC了吧！

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  • 數學老師張旭

    極限連續定義 在 數學老師張旭 Facebook 的精選貼文

    2021-08-03 04:07:07
    有 41 人按讚

    【處處極限不存在的函數】
    .
    　　我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個問題，那就是在設計了一個在某一點，例如說 a 點，極限不存在的函數以後，要如何改造這個函數，才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
    .
    　　（接下來的內容，建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來）
    .
    　　舉例來說，如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數（例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0；而當 x 大於 0 時其函數值均為 1），那麼要如何改造或調整這個函數，才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢？針對這個例子而言，或許可以這樣做：先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在，但因為 1 並非 0「旁邊」的數字，所以顯然還要再調整，於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在，但同樣地，因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字，所以我們繼續調整這個函數，下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5，依此類推，再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5，持續這樣的步驟，最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在，但是原本在調整時的兩點極限不存在，卻因無限持續這樣的步驟，而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
    .
    　　之所以會產生這樣的狀況，是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此，那如果不要持續上面的步驟無限次呢？如果僅持續有限次的步驟，那麼在該次步驟的下一次，一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些，這個推論的結果就是，如果僅持續有限次上述的步驟，那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果，無論是有限次或無限次操作上述的步驟，最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪，因為這意味著從一個點的極限不存在出發，去逐步改造出一個處處極限不存在的函數，方向很可能是錯誤的。
    .
    　　那麼，該怎麼辦呢？
    .
    　　面對這個問題，當時的我最終並沒有自己解出來，而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來，並告訴我他的想法。
    .
    　　他告訴我，既然從一個點的極限不存在開始是行不通的，那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧！例如一開始的函數乾脆設定成這樣：當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時，將其函數值設定為 0，而其他地方則設定為 1。例如，當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時，其函數值就是 0，而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時，其函數值就是 1。如此一來，我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
    .
    　　以此為起點，比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點，似乎好像有了長遠的進步，但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點，那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
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    　　為了解決這個問題，我的朋友告訴我，下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話，大概是這樣操作：例如，在 0 和 1 之間，函數值原本都是 0，但接下來把這個區間切割成 10 等分，然後第 1、3、5、7、9 個區間（也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間），我們把函數值調整成 1，其餘的不動，那麼我們就可以得到一個，除了在所有整數點極限都不存在的函數以外，這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間，則在等分割成 10 個區間以後，將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話，那麼在每一個整數區間（就是 n 到 n + 1 的區間）裡面，其十分位數的位置其極限都不存在。
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    　　接下來，再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間，然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0，而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間，但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1，那麼，這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外，但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
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    　　再接下來，繼續進行上面的動作，不斷地十等分分割之前產生的區間，並且適當地調整其函數值，使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ，或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態，持續無限次，最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
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    　　要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版，這邊我們先講簡單版，以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言，固定任何一點 a，其左極限只有兩種可能，0 或 1，但因為這個函數被分割地非常地密，而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動，所以這個函數在 a 點的左極限不存在，因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後，因為 a 這個點是任意取的，所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
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    　　這個答案真的很猛，因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
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    　　雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因，也因為我們還沒學到極限的嚴格定義，所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在，但現在回想起來，那位奧數朋友還是很猛！因為他就好像那種天生的小說家一樣，信手拈來就寫出了一本傑出的小說，而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
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    　　講到這裡，今天的故事似乎已經講完，但其實還沒，因為這樣聰明的人，並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
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    　　關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題，其實在 19 世紀時，就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家，他所創造出來的一種函數（後來稱為 Dirichlet 函數），就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下：當 x 為有理數時，其函數值是 1；當 x 不為有理數時，其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在，也是我教授當時給同學們預設的答案。
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    　　在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了，但我有拍一部影片來說明，如果你想繼續看下去，可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片，我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
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    　　雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在，但其實當初 Dirichlet 所面對的問題，並非「是否存在處處極限不存在的函數」，而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後，Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數，而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且，除了無法圖像化以外，Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位，因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期，那麼就會存在最小週期，但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數，因為任意有理數都是它的週期。
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    　　關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊，或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章，不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的，所以如果真的要寫的話，那可能就還要再等一陣子了。
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    　　最後，跟大家介紹一下我上面所提到的影片，那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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    　　感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！

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