為什麼這篇期望值速解法鄉民發文收入到精華區：因為在期望值速解法這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者kyoiku (生死間有大恐怖)看板Math標題[中學] 不同樣本空間的 X 為何期望值會相等？...
期望值速解法 在 Skyler-簡單聊天 Instagram 的最讚貼文
2021-08-03 12:33:25
很多兄弟們沒有交到女朋友？ 卻有很多兄弟們卻成功達成他們的目標！ 為什麼呢？ 我來解答 全程乾貨，建議收藏，分享給朋友 1.每一次理解上的細節點，你們沒看到的，卻慢慢的毒害你。 知道 聽過 好像是 大概懂 這些都是所謂的不確定 一件事上或許沒什麼，每件的小事情上，累積起來，就是所謂的千...
一袋中有 2 白球 8 紅球，今從袋中取球，求取得白球個數之期望值
1) 一次取出三球 => 期望值 = 3/5
2) 一次取一球，取後放回，取三次 => 期望值 = 3/5
3) 一次取一球，取後不放回，取三次 => 期望值 = 3/5
所以這種題型還可以衍生出速解，
算取一次的期望值 (= 1/5) 再乘以 3 就是答案。
請問為何會這麼巧呢？ 三個我按基本定義都算過一次答案的確都是 3/5，但是
1) 的樣本空間元素有 C(10,3) 個
2) 的樣本空間元素有 10^3 個
3) 的樣本空間元素有 10*9*8 個
這三者之間有什麼定理或直觀可以連結所以才會相同？
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→ wayn2008 :去看期望值定義吧 05/14 04:22
→ wohtp :1 和 3 根本是同一回事。雖然 3 多了三顆球的先後次 05/14 05:13
→ wohtp :序，但你問的是「總共有幾顆白球」，不關次序的事 05/14 05:14
→ wohtp :所以這兩個給你同樣的期望值是應該的。 05/14 05:15
→ wohtp :至於2...應該是個意外吧。數字換掉大概就不會有相同 05/14 05:16
→ wohtp :結果了 05/14 05:16
推 Dirk3 :2不是意外吧? 05/14 07:51
→ yhliu :誰規定樣本空間不同就不能有相同期望值? 05/14 10:55
→ yhliu :1) 相當於 3) 但不考慮抽出順序. 05/14 10:56
→ yhliu :2) 與 3) 差別在於三次抽球結果是否獨立. 05/14 10:57
→ yhliu :把第 i 次抽球結果用 Xi 表示, Xi=1 代表抽中白球, 05/14 10:58
→ yhliu :Xi = 0 代表抽中的不是白球. 則所問是 Y = X1+X2+X3 05/14 10:58
→ yhliu :的期望值. 而如上述, 2) 與 3) 的差別是在於 Xi 之間 05/14 10:59
→ yhliu :獨立不獨立. 但 E[X1+X2+X3] = E[X1]+E[X2]+E[X3] 不 05/14 11:00
→ yhliu :涉及是否獨立的問題. 05/14 11:00
→ wayn2008 :還有原po你的樣本空間似乎搞錯了... 05/14 14:48
→ wohtp :我現在同意 2 好像不是意外，但是既不了解為什麼也證 05/14 17:37
→ wohtp :明不出來。誰來教我一下？ 05/14 17:38
→ wohtp :另外，關於樣本空間跟期望值的關係：的確沒有規定說 05/14 17:38
→ wohtp :你不能算出相同的期望值。 05/14 17:40
→ wohtp :但是兩個看似不一樣的問題給出一樣的答案，一般都會 05/14 17:40
→ wohtp :懷疑說，「欸，會不會其實是同個問題，只是看起來不 05/14 17:41
→ wohtp :一樣而已？」 05/14 17:41
→ wohtp :我想原po的疑問應該比較接近這個 05/14 17:42
→ wayn2008 :問題是原po樣本空間是錯的 05/14 17:42
→ wayn2008 :樣本空間跟算機率的時候其實是有落差 05/14 17:42
→ wohtp :他的樣本空間元素個數沒錯啊？ 05/14 17:46
→ wayn2008 :就拿第ㄧ種來看，其實樣本空間只有7個元素 05/14 17:46
→ wayn2008 :紅球是一樣的耶!不能這樣做，但是的確機率的分母是 05/14 17:48
→ wayn2008 :原po寫的那樣 05/14 17:48
→ wayn2008 :sorry我剛剛說錯了 應該是(3)是7種才對 05/14 17:49
→ wohtp :如果球上面有編號原po的想法就沒錯。 05/14 17:50
→ wayn2008 :(1)3紅 2紅1白 1紅2白=>3種 05/14 17:50
→ wohtp :然後編不編號只是細節，因為他問的問題本身無視編號 05/14 17:51
→ wayn2008 :題目並沒有說有編號，但是在算機率是要當有編號(不同 05/14 17:51
→ wayn2008 :)來算 05/14 17:51
→ wayn2008 :所以光是看機率跟期望值就有落差了，更別說期望值了 05/14 17:52
→ wayn2008 :機率跟樣本空間才對(打錯) 05/14 17:54
→ wayn2008 :相信原po是個老師，但有些地方要界定清楚，不然會誤 05/14 17:55
→ wayn2008 :導學生 05/14 17:55
→ wayn2008 :所以結論就是樣本空間跟期望值無關，要實際了解請去 05/14 17:59
→ wayn2008 :看期望值定義 05/14 17:59
→ wayn2008 :可以"/取球的機率",就會知道為什麼相同了 05/14 18:46
→ yhliu :2) 與 3) 期望值相等這事, 只需證 Xi 的分布與抽出後 05/15 12:28
→ yhliu :是否放回無關. 當然它們還是有不同的, X1, X2, 和 X3 05/15 12:29
→ yhliu :的聯合分布不同. 所以, Y=X1+X2+X3 的期望值在兩種情 05/15 12:30
→ yhliu :況雖相同, 其變異數卻不同. 2) 的變異數是 12/25, 而 05/15 12:31
→ yhliu :3) 的變異數是 (3/25)(10-3)/(10-1) = 7/75. 05/15 12:32