\前言\
話說這一篇，給那些學過高等統計學的人看到一定會笑死，不過我的對象是我們那些沒

學過，又不想學的人看的。以前我在學習期望值定理及定義的時候，花了很多時間投資

在上面，雖然在學校的課程中應用很少，但是在我過年賭博的時候，幫了很多忙。自從

前年我的親人跟我賭過之後，大家都不想跟我玩21點了。因為會計算的人總是討人厭！

\期望值定義\

簡單來說就是，將所有可能發生的情況先定義出來，再乘上這些情況的"已知"的

機率！然後加總！

這樣子說，是不是太學術了呢？所謂的所有可能發生的情況是什麼？好吧，丟一顆6面

的骰子，你覺得他出現的情況是什麼？一般來說定義是出現1、2、3、4、5、6！這就是

所有可能發生的情況！那麼什麼叫"已知"的機率呢？一般來說我們直覺是每一種情況出

現的機率是1/6！因此你會作以下的計算：

1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6)

= 21/6 =3.5

這個就是期望值！，好吧！為了讓你更明白什麼是所有可能發生的情況，定義出來。這句

話真正的涵義，我們舉一個蟲骰的例子，你還記得嗎？蟲骰上面的情況是：

1、2、3、4、5、蟲

那請教一下期望值怎麼算！然後你就很厲害的說，簡單呀，這樣子算麻！

1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 5*(1/6)

= 20/6=3.3333


問題來了！ 那是因為你"定義"了 "蟲"是"5"點！才可以這樣子算！如果我定義

蟲是100點！那麼定義上的差別，是不是會影響期望值呢？！！！！


接下來，另一個問題是"你如何確定" 每一種你定義的結果"確定"都是1/6！，真的

是1/6嗎？其實你也不知道道，你只是"直覺地"認為，那是一個很"公正"的骰子，因

此每一面出現的機率"1/6"！看來你可能沒有被表過！如果那是一個作弊骰呢？而且

已知道這個作弊骰永遠只會出現"蟲"，那麼你的期望值還是這樣子算嗎？也就是事實

上這個"機率"本身就是一個大問題！一般而言，我們在作骰子作分析時，其實已經假

定了，它是一個"公正"骰子！好，那問題就在於"我們有驗証"他嗎？沒有！完全沒有！

那麼要如何驗証！我想你很直覺的就會想到這個方法！就是一直丟它，然後記錄下來

再來分析！沒錯，所以我們有以下的公式來驗証！


出現1的次數 / 總丟的次數 = 出現1的後天檢驗機率

出現2的次數 / 總丟的次數 =出現2的後天檢驗機率

......

.........

........

出現6的次數 / 總丟的次數 =出現6的後天檢驗機率


以上就是檢驗的方法！在來補充說明一點，就是我們一開始直覺上認定為1/6，因為在先

天上我們沒有檢驗，就認定他的機率，因此簡稱為"先驗機率"！然後我們經由實驗而得到

的機率我們稱為"後驗機率"。



所以經由以上的定義！我們舉一個表人的例子，之前有人問丟一顆骰子期望值是多少！

如果有人回答21/6！你可以說他錯！因為你的骰子跟人家不一樣！6面都是6！哈哈！

所以你得先跟對方說清楚你所謂的"6面骰子"是什麼東西！我記得我們玩DooM的時候，有

一個6面骰子！有2面空白及1、2、3、4！這樣的骰子即使他是公正的骰子！期望值也絕對

不是21/6！

另外期望值的定義，其實背後有隱含一個很大的假設，他假定"機率"已知！所有"情況"已

知，而且這些事情的機率都很穩定，不會改變！長時間而言，這些"情況"都可以反覆作

而且情況會相同！因此你才可以作期望值！如果這些情況沒辦法長期被實驗，或背複制

其實用期望值定理去作決策其實是"非常危險"的。而且期望值定理還是有他的不合理的

地方！舉一個很有名的例，我們稱為聖彼得堡的矛盾，他就是在說時用期望值作決策時

你反而不敢作的例子。


假定現在我，跟你對賭這場賭局！你只要給我1000元！接下來，我們來玩丟一個"公正"

的硬幣，你只要連續丟出正面，那麼你就可以得到這麼多錢：

2^n

也就是你丟一個正面，拿2元，連續丟2個正面拿4元！連續丟10次你拿1024元...

以此下去，你連續丟出越多，你拿越多！你可以去計算這個game的期望值！答案

是"無限大"！ 好吧即然期望值是無限大！你只需付我1000元即可，但是你卻完全

一點都不想跟我玩這個遊戲！如果你真的想玩，我開價玩這個game的錢，是1億台幣！

但是你卻完全也不想跟我玩這個game。很奇怪吧！明明你的期望值就是無限大！理論上

無論我開價多少，你應該都會接受的！為什麼你不會想要玩呢？


也就是期望值定理作的決策，很明白並沒有考慮到"輸"的風險。那麼一般我們在使用

他的時候，因為結果很確定，而且風險很小，因此我們使用時，都不會懷疑這個定理

因此如果這個決策，無法重覆實行，而且風險很高！事實上我們使用期望值定理作決

策，是一件非常危險的事！已經跟"賭一把"沒什麼兩樣了！這也可以解釋為什麼社會

的公司高層仍然是那些"老人" ，而非年青人。年青人學了很多先進的統計決策，理論上

可以計算出作每一件事的期望值，並且利用這個定理去作決策。但是最後？社會的制度

仍然只支持那些"經驗"豊富的老人主管！因為有另一套的"經驗決策"理論在支持他們！

說到這裡還是收個尾吧...XD。總之期望值還是很好用，只是注意一下他的限制。我敢

保證在桌遊裡面，期望值理論絕對是100%可用！就這樣！看來賺了不少P。


--
到頭來，反覆思考一件事直到邏輯完美，果然才是真正研究。

試誤法、模仿法、抄寫法最後一直在我的生活發生。

以前的唸書觀念，即使在現在仍然沒有改變。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.119.145.224