為什麼這篇tan微分證明鄉民發文收入到精華區：因為在tan微分證明這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者Eliphalet (怕什麼？我又不是猩猩王)看板Math標題Re: [微積] tan的連續 證...
tan微分證明 在 ?賭Sir｜數學考試專家 Instagram 的最佳貼文
2021-09-03 14:17:25
上次講完 M1 嘅同學，今次輪到 M2 喇🤩 要喺 M2 拎到 5 級，或者 5* 級，甚至 5** 嘅級數，必須將所有 Topic 都讀到極緻，否則好容易踩中 DSE 出卷人精心設計出嚟嘅巨伏，令到你嘅分數好似倒水咁倒，當你仲以為失幾分無所謂嘅時候，好可能已經失緊幾十分而自己都未知！😩 ...
※ 引述《louisshih (老牧師4ni)》之銘言：
: 小弟最近寫到一題證明
: 要我們求tan是不是一個連續函數
: 包括證明
: 我們知道tan圖畫出來就是不連續
: 我想說用y=tan90度時 y不存在
: 之後對tan90度作微分
: 左極限跟右極限不一致
: 所以tan不是一個連續函數
: 請問這樣可以嗎？
: http://i.imgur.com/hWK1uNH.jpg
不可以！ 光是第一句
設 tanθ 為一個連續函數，則 tanθ 可微分 (而且根本沒用到這吧...)
就有問題了，而且後面第二、三句也寫得不知所云...
tan 連不連續要看你書本的定義怎麼寫的
我是認為連續啦 ( tan : D -> R，D 是 tan 的定義域，tanθ=sinθ/cosθ
又 sin 跟 cos 皆為連續函數 )
但是就我手上某本微積分的書有提到 f 在 c 點連續要滿足
1. f(c) is defined.
2. lim f(x) exists.
3. lim f(x) = f(c)
就 tan 而言，滿足 cos(c) = 0 的點，1,2,3 都會有問題
照這樣看起來的話 tan 就變成不連續
(看起來這定義滿糟的 XD)
所以最後還是要看你課本是怎麼寫的...
: 我寫到最後感覺不太順
: 請大家指點一下
: 先謝謝各位
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.230.109
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1445322861.A.A09.html
推 LPH66 : 個人覺得就算這麼定義單點連續, 函數連續的定義上 10/20 18:11
→ LPH66 : 就不包含不在定義域裡的點了, 那麼定義域外的點 10/20 18:11
→ LPH66 : (by(1)不連續)對函數是否連續沒有影響才對 10/20 18:12
LPH66 大，我也是這麼認為的
但該書( Calculus 7th edition by Larson Hostetler and Edwards)
認為這算不連續
裡面的圖 http://imgur.com/2TZh7UH
※ 編輯: Eliphalet (114.46.230.109), 10/20/2015 18:47:27
推 LPH66 : 你應該要去找書裡對「連續函數」的定義才對 10/20 19:48
→ LPH66 : 這張圖應該是少畫了一個 c 點的值 (不在線上在別處) 10/20 19:49
→ LPH66 : 因為它是在講定義域內不連續點的性質 10/20 19:50
不是漏畫(雖然我知道很怪)
它書裡單點連續的定義，是上面打的那三點。之後接了這段文字
Consider an open interval I that contains a real number c. If a function f
is defined on I(except possibly at c), and f is not continuous
at c, then f is said to have a discontinuity at c.
所以該書沒定義的點也是算在不連續
-----------------------------------------------------------------------------
OK 我知道問題的來源了。 提到連續函數的部分
A function is continuous on an open interval if it is continuous
at each point in the interval.
這裡並沒提到這個 interval 包含在定義域內 (至少沒明指)
我承認我是看到上面的那個圖，所以把
to have a discontinuity at c => be a discontinuous function
至於上下文，我倒是沒看到關於 discontinuous function 的敘述
還有，我有說我的意見跟您是一致的，就忘了這本書吧 XD
※ 編輯: Eliphalet (114.46.230.109), 10/20/2015 20:00:50
※ 編輯: Eliphalet (114.46.230.109), 10/20/2015 20:16:19
→ wohtp : 所以 f(x) = x，但只定義在有理數上面，這樣的函數 10/20 20:46
→ wohtp : 也叫做連續可微嗎？ 10/20 20:46
推 louisshih : 我想到了 因為sin cos可是一個連續函數，tan=sin/co 10/20 21:24
→ louisshih : s 所以tan也是一個連續函數 10/20 21:25
→ kerwinhui : @wohtp: 這f當然是C^1(Q) 10/20 22:34
→ deflife : 本性不連續好像 10/21 08:47
→ yhliu : tan(x) 是不是一個連續函數? 我猜絕大多數初微教本 10/21 14:37
→ yhliu : 都會說它在許多點不連續, 因此不是一個處處連續的函 10/21 14:38
→ yhliu : 數. 不過, 相信所有高微、數學分析的教本的定義都會 10/21 14:39
→ yhliu : 導致 "tan(x) (在其定義域) 是連續函數" 的結論. 10/21 14:40
→ yhliu : 其實這種存在於初、高微教本上定義的差異有好幾項, 10/21 14:42
→ yhliu : 例如極限的存在、連續及數、遞增與遞減函數等. 10/21 14:44
推 Desperato : 推樓上 10/21 16:50