**圓柱體

首先要知道平行軸定理：I=Icm+Mh^2

先計算一小片圓盤(轉軸為一直徑)的轉動慣量：
而這個又要把那個圓盤想成是一層一層的圓環

而我們知道：一層半徑為R質量為M的圓環之轉動慣量為 0.5MR^2
所以 一片圓盤的轉動慣量為一層一層從半徑為R到半徑幾乎是零的的圓環積分積起來

如果該圓盤的半徑為R質量為M，則(用S表示積分符號)
I(圓盤)=S[dI(圓環)]=S(0.5r^2 dm)

又dm/dr=M*(2pr/pR^2) (方便理解可以將dm/dr看成是一個半徑為r之薄圓環的質量)
(p=圓周率 (2pr/pR^2)就是那片圓環(圓周長)佔整個圓的面積的比值)

因此 dm=M*(2pr/pR^2)*dr
I(圓盤)=S[dI(圓環)]=S(0.5r^2 dm)=S(從0積分到R)[0.5r^2*(M*(2pr/pR^2)*dr)]
=0.25MR^2

所以我們知道了一個半徑為R質量為M之 圓盤之轉動慣量 為 0.25MR^2
因此我們將一片片薄薄的圓盤疊起來變成一個圓柱
但是這樣還沒有辦法求得援助的轉動慣量因為我們現在只知道圓盤的轉動慣量
而一片片薄薄圓盤的轉動慣量的轉軸是在一片片薄薄圓盤各自的直徑
(我們讓他們的直徑都平行且轉動方向都一樣)

在這裡我們要用平行軸定理 I=Icm+Mh^2
先將兩邊都加上d，也就是兩邊都變的很小很小，且令h=x
dI=d(Icm+Mh^2) => dI=dIcm +x^2 dm

現在將Icm看做是那一片片薄薄圓盤的轉動慣量 (所以 Icm=0.25MR^2)
而x是一片片薄薄的圓盤的轉軸到我們圓柱的轉軸的距離

我們討論的是其中一個圓盤平移轉軸後(平移到圓柱的轉軸)的轉動慣量
所以x在此是一個定數，不是一個變數

因此
dI=dIcm +x^2 dm=d(0.25MR^2)+x^2 dm=(0.25R^2)dm+x^2 dm=(0.25R^2+x^2) dm

所以
I(圓柱)=SdI=S(dIcm +x^2 dm)=S[(0.25R^2+x^2) dm]
*注意在這裡的x變成一個變數了，因為每個薄薄圓盤轉軸到圓柱轉軸的距離都不一樣

再來找出dm/dx把dm換成dx這樣就可以積分了
所以我們來找dm/dx(L是圓柱長度)

因為我們假設質量是均勻分布的所以dm/dx就會是該圓柱的質量線密度也就是M/L
總之dm/dx=M/L(我有點想睡了XD)

所以
dm=M/L dx
所以
I(圓柱)=S[(0.25R^2+x^2) dm]=S[(0.25R^2+x^2)*M/L dx] (從x=L/2積到x=-L/2)
=(2M/L)*S[(0.25R^2+x^2) dx] (從x=0積到x=L/2)
=(2M/L)*(0.25xR^2+(1/3)x^3) (從x=0到x=L/2)
=(2M/L)*(0.25(L/2)R^2+(1/3)(L/2)^3)-(2M/L)*(0.25(0)R^2+(1/3)(0)^3)
=0.25MR^2+(1/12)ML^2


打了好久@@

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