為什麼這篇泰勒級數證明鄉民發文收入到精華區：因為在泰勒級數證明這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者suhorng ( )看板Math標題Re: [微積] 泰勒展開時間Wed May 2 17:...
※ 引述《jimmyoic (jimmyoic)》之銘言：
: 1.
: 求tanx 的泰勒展開
: 我在坊間的書裡看到除了用基本定義的方法去求以外
: 還能用sinx的展開式除cosx的展開式來找
: 這樣變成兩項泰勒展開式相除 先不論能不能這樣求得tanx的展開式
: 這兩樣要怎麼除我也不知道= =
: 今天去問微積分老師他說不可能可以這樣算
: 想請問一下這個方法是不是真的不可行?
相除是可以的 模擬長除法
x + x^3/3 + 2/15 x^5 ...
___________________________________
1 - x^2/2 + x^4/24 - .../ x - x^3/6 + x^5/120 - ...
x - x^3/2 + x^5/24 - ...
---------------------------------
x^3/3 - x^5/30 ...
x^3/3 - x^5/6 + ...
-----------------------------
2x^5/15 ....
(當然要考慮相除的兩式的收斂區間)
因為泰勒展開是唯一的 不管用哪種方法求 都沒差
另一種方式如 LPH 大所說. 設 tan(x) = a_0 + a_1 x + a_2/2! x^2 + ...
則 (1 - x^2/2 + x^4/24 - ...)(a_0 + a_1x + a_2x^2/2! + ...)
= (x - x^3/6 + x^5/120 - ...)
乘開來 比對係數 看你要幾項
或者 1/cos(x) = 1/[1 - (x^2/2! - x^4/4! + ...)]
= x^2(1/2! - x^2/4! + ...) + x^4(1/2! - x^2/4! + ...)^2 + x^6(..
展開前幾項 再跟 sin 乘
扯遠一點, tan(x), cot(x) 的泰勒展開式可以用 Bernoulli numbers B_n 表達
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series 下面 List of Maclaurin..
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/math/b/2/0/b20cd46867eebfe10c300de
aa4a9082d.png
: 2.
: 要求arcsinx 泰勒展開式
: 書上的方法是先將其微分變成 1/ (1-x^2)^1/2
: 然後會等於 -1/2 -1/2 1 -1/2 2
: C + C (-x^2) + C (-x^2) .......
: 0 1 2
: = 1 + 1/2x^2 + 3/8x^4 + 5/16x^6 ......
: 這裡我看不懂C的意思是什麼= = 去估狗了一下其他展開arcsinx 的作法也是這樣
這是廣義的 binomial coefficient, 定義為
x x x(x-1)(x-2)...(x-k+1)
( ) = 1, ( ) = -----------------------
0 k k!
把它看成方便表達所定義的符號就好. 為什麼這樣定義可以從 Binomial Theorem
推知端倪. 注意當 x 為正整數時, 這樣定義就簡化成普通的二項式係數 C(n,k).
x x k x x+1
至於 ( ) + ( ) = (------- + 1)( ) = ( )
k-1 k x-k+1 k k
其中 x-k+1≠0.
其他也可以驗證一下是不是成立
這裡是因為可以用 Binomial Theorem:
α
(1 + x)^α = Σ( )x^k , for |x| < 1
k k
: 3.
: tan(sinx) -sin(tanx)
: lim -------------------- = A 求alpha 跟 A
: x->0 x^(alpha)
: 可以將tanx= x + 1/3x^3 + 2/15 x^5 ...... x用sinx代入
: 但是下一步 sinx + 1/3(sinx)^3 + 2/15 (sinx)^5 = x +1/6x^3 - 1/40x^5-3/560x^7
: 是怎麼來的 我看不懂
: sin(tanx) 也是一樣的方法 但是也是在一樣的地方卡住
: 希望有人能指點一下@@問題有點長
: 感謝
這的確是把 (sin x)^? 的幾次方乘開 你需要到幾次項就求到幾次項為止...
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◆ From: 59.115.145.87
→ ilway25 :怎麼證明兩式相除是泰勒展開式而不是其他的逼近式呢 05/02 20:17
推 yueayase :不知道我說的對不對: 如果要證明相除後是不是 05/02 21:49
→ yueayase :泰勒展開式,可以是著證明函數是否無窮可微 05/02 21:51
→ yueayase :因為無窮可微,所以應該有些書上會去證明power series 05/02 21:52
→ yueayase :唯一,而且就是泰勒級數 05/02 21:52
→ yueayase :當然要先去證明分母的函數,是否可以展成power series 05/02 21:53
→ yueayase :這應該很多書上有寫 05/02 21:54
這也可以觀察一下 "長除法" 實際上是在做什麼. 假設 b_0=1
a_0 + (a_1 - b_1a_0)x
________________________________________________
1 + b_1x + b_2x^2 + ... / a_0 + a_1x + a_2x^2 + ...
/ a_0 + b_1a_0x + b_2a_0x^2 + ...
------------------------------------------------
(a_1 - b_1a_0)x + (a_2 - b_2a_0)x^2 + ...
(a_1 - b_1a_0)x + (a_1b_1 - a_0(b_1)^2)x^2 +..
得到的結果是
a_0 + (a_1 - a_0b_1)x + (a_2 - a_1b_1 + a_0(b_1^2 - b_2))x^2 + ...
但是我們計算把它乘上 1 + b_1x + b_2x^2 + ... 會得到
a_0 +
[ a_0b_1 + 1(a_1 - a_0b_1) ] x +
[ a_0b_2 + a_1b_1 - a_0(b_1)^2 + 1(a_2 - a_1b_1 + a_0(b_1^2-b_2)) ] x^2 + ...
"字面上", 我們得到的必定是相除的泰勒展開式(若存在)
比對係數法也會算出一樣的係數
※ 編輯: suhorng 來自: 59.115.145.87 (05/02 22:29)