為什麼這篇極限數學鄉民發文收入到精華區：因為在極限數學這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者yonex (諸法皆空)看板tutor標題[閒聊] 淺談極限（一休法師的數學對話錄）時間Mon ...
極限數學 在 Spark Light 工作坊 Instagram 的最佳解答
2021-09-16 09:51:09
｜Spark Light工作坊｜ 📍｜主題｜ ▫️學測如何準備數學非選 📍｜前情提要｜ ▫️新型學測自從加入了非選擇題後，許多同學開始會感到害怕，不知道該用什麼方法面對以及該花多少時間處理。因此小編特地整理了大家常見的問題，讓大家在面對非選時可以用更穩定的心態應付。 📍｜時間分配｜ ▫️寫考卷...
今天下午閒閒沒事，寫了篇微積分中，關於『嚴謹極限定義』的短文
初等微積分在這部分，常常是初學者甚感頭痛的章節
在這裡斗膽提供另一種教學方式給各位參考....
有些家教老師或許正在修習微積分，又或者，有人正家教微積分
但願這篇文章能對大家有所幫助，並請方家不吝批評指教
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淺談極限（一休法師的數學對話錄）
小妍：一休，你怎麼一整個早上都不在安國寺，我找了你好久。
快救救我吧！現在一整個亂呀～～～
一休：怎麼啦？我不過幫將軍大人到何老闆家辦點事，
哪知道麗心小姐出了一堆難題考我，
回來的路上又遇到總兵大人，聊個沒完沒了就拖到現在了……
小妍？妳還好吧？我看妳臉色發青耶！
小妍：吼～～～別提了，事情是這樣子的啦！
妳還記得我去東森幼幼班學微積分嗎？之前
我還自認為掌握的蠻不錯的，哪知道昨天老師教到極限的嚴格定義與證明，
我只能看黑板乾瞪眼，完全陷入五里霧中。
今天一早急著找你也是為了這檔事，聰明的一休，這種事也只有你能幫我了～～
一休：哦～～原來是這件事呀！我還以為又是誰惹麻煩了。
OK～小妍，那裡有棵蔭涼的大樹，旁邊有一塊沙地，
不如我們就坐在那兒邊乘涼邊討論吧！走！我順便折個樹枝當筆用！
小妍：好呀！你學歐陽修老媽『畫荻教子』咧～～
一休：呵呵～～我想到的人可是阿基米德呀（Archimedes）
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一休：學校老師是怎麼講函數於一點的極限嚴格定義的，小妍，你幫幫忙寫一下囉！
小妍：OK！沒問題，我背的滾瓜爛熟，唉～～只是完全搞不懂他的意思（皺眉）
老師是這樣寫的：
『for allε>0，exist δ>0，such that whenever 0<|x-a|<δ ＝＞ |f(x)-L|<ε』
看在老天的份上，快救救我吧！這之於我簡直是火星文的水準。
一休：先別急，慢慢來囉！對了，我沒想到妳英文還講的真不錯耶！
好吧，咱們來想想：奇怪了？之前老師教直觀的極限，大家都懂呀！
為什麼要把事情弄這麼複雜深奧？妳能說說看自己的想法嗎？
小妍：數學家總喜歡講『黑話』讓自己看起來更有學問吧！
好讓外行人聽不懂而覺得他們很厲害。不然幹嘛這麼折磨人……
一休：小姑娘，我不完全否認妳的說法！
但今天在『極限』這個概念的解釋上，完全不是如此。
數學家把極限寫成這般『稀奇古怪』又『面目猙獰』的鬼模樣，
可不是因為任何自命清高的理由。
為的是把概念『說清楚，講明白，不失一般性的放諸四海皆準』……
呵呵～～我看得出妳聽的有點茫然了，
只是待會妳很可能不得不認同這般論調（除非妳今天一無所獲）
小妍：一休！你別鬧我了，現在我滿腦子混亂你還火上添油。
一休：回頭看看沙地上寫的，我儘可能把這段話翻譯成白話文，妳可要仔細思量呀！
『對於所有ε>0，必定可以找到一δ>0，使得當0<|x-a|<δ時，|f(x)-L|<ε。
這個陳述成立的話，我們便說：
lim f(x)= L
x->a
做個註解好了，妳仔細看看喔！
1. ε>0代表所有正數。
2. 0<|x-a|<δ就是說：當x介於某一個區間。
也就是 a-δ < x < a+δ 且 x≠a，咦？x≠a又是從哪來的！
其實仔細看看原來那個絕對值不等式，
為什麼要寫成的0＜|x-a|而不是0≦|x-a|呢？
其實正說明了數學家不要讓x=a，這也正是極限被發明的精義所在，不是嗎？
3. |f(x)-L|<ε依樣畫葫蘆啦，L-ε < f(x) < L+ε。
總歸一句，這裡要談的觀念是：
『當 x 逼近 a 時，f(x) 有極限 L。
小妍：大哥呀！你最後講的那一句我懂，
因為那簡直又回到一開始幼幼班裡教的直觀極限。
可是前面又為什麼要講一大堆拉哩拉匝的話來混淆視聽呢？
一休：小妍，妳以為妳聽懂了最後一句，其實並沒有。
『當 x 逼近 a 時，f(x) 有極限 L』，
什麼叫做f(x) 有極限 L？！我相信妳並沒有真的懂，
我幾乎可以預料到妳接下來要講甚麼話。
小妍：哼！別小看人呀！所謂f(x)有極限L，不就是f(x)很接近L，要多近就可以多近。
一休：哈！我就知道妳要這樣講。姑娘，妳已經長大了耶！
再沒幾年就要嫁人了，要成熟點，不可以像小孩子一樣講這種不成熟的話來，
所謂『要多近就可以多近』，是一句含混不清、不明確又不負責任的話。
當妳說：x 逼近 a ，要多近有多近時，那究竟有多近呢？可不可以是0呢？
當然不可以，是0的話， x不就等於 a 了（那又何必發明個什麼狗屁極限），
於是妳又辯解：好吧！要多近就可以多近，只要不碰到 a ！
唉～～小妍，我們是在研究數學，可不是搞政治，
似是而非或曖昧不明的話，數學家可是很討厭的。
他希望妳把『要多近就可以多近』這句話『定量』的表達出來。
小妍：你饒了我吧！我想我不是真的懂，不然今天我就不會來找你了。
一休：小姐，極限的存在其實這是一場激烈的『攻防戰』，
大部分學微積分的學生並沒有看到這一場戰爭，
『一場ε與δ的戰爭，ε負責攻打，而δ負責防守』，
如果說：無論ε怎麼出招攻打，δ都能應付要求而防守的住，
我們就說f(x) 有極限 L。』
小妍：怎麼扯到打仗去了，講的比學校老師還要玄。
一休：假設我們今天生活在數學國，敵軍進犯咱們家園，
總兵大人就會在城牆上駐軍防守。
小妍，一起來瞧瞧戰況吧！
敵人希望能破門而入，在部隊裡架設砲台
（砲台就是函數f(x)，因為經費有限，敵軍只有一座砲台），
裝填砲彈向咱們轟打（ε就是砲彈）。
可想而知，當敵軍攻不進去的時候，
就會想辦法加強砲彈火力（ε越小，代表砲彈越尖銳，火力越大）
小妍：總兵大人要怎麼防守？不會是用δ吧！只剩這玩意沒出場了。
一休：這回你講對了！就是要用δ防守敵人丟過來的ε。
並且當砲彈越先進越猛烈，也就是ε越小，
那麼咱們總兵大人抵擋的防禦性武器δ通常也就要越堅固，
這便是防禦的δ要越小……
小妍：但是ε不能取0，因為這樣子f(x)就會等於L了，
這樣會逼的總兵大人可能要以δ＝0來防禦，
而δ＝0正是 x＝a ，這恰好違反極限之所以被發明的精神。
一休：我幾乎沒辦法回答的比妳更好了。
但是我再補充一點：並不是 f(x) 不會等於 L ，只是敵人不能要求ε＝0，
也就是敵人不能要求f(x)=L，即使f(x)真的等於L也不能使用。
這如同今天國際情勢一般，大家講好無論哪種戰爭都不可以使用核子武器。
小妍：可是這個敵人很強悍，也很狡詐，除了核子武器之外的東西他都可以盡情使用，
也就是講的出來的正數ε，他都敢用也都允許使用而不違反國際公約。
一休：很高興妳又答對了一次。我相信經由這般的引導，
如今妳已經茁壯到可以回答我的提問了。
來～～考考妳！
小妍：儘管考！
一休：所謂 "f(x) 有極限 L" 是在講甚麼？
小妍：基本上我們的意思是: f(x) 很靠近 L。
一休：那有多靠近？
小妍：你說要多靠近都做得到，因為現在極限已經存在，
但你這個敵軍不能要求 f(x)=L。
一休：我希望 |f(x)-L|<0.01，妳防的住嗎？
小妍：只要我把 x 夠接近 a, 但 x≠a，就一定防得住！
一休：那麼，要求 |f(x)-L|<0.000000000000001 呢？
小妍：沒問題！只要我讓 x 夠接近 a，而且 x≠a。
一休：那麼...是不是我隨便說一個數 ε＞0，只要 x 夠接近 a，而且 x≠a，
就能保証|f(x)-L|<ε！
小妍：沒錯! 『f(x) 有極限 L』就是這個意思！
可是...甚麼叫 "x 夠接近 a" (而且還要 x≠a)？
我不敢說要考一休大師，只能請教了，因為接下來我是真的不懂了！
一休：OK！ "f(x) 靠近 L" 不稀奇；但它是有條件的，
那就是 "x 夠接近 a而且 x≠a"。
重點要來了！
我們必須有個標準來評估是否 " x 夠接近 a"？
我們可能取一個標準ε>0，凡是 0<|x-a|<δ，也就是x 和 a 的距離小於 δ，
就說 x 夠靠近 a。
小妍：那... δ 要取多少？ 0.1？ 0.01？
一休：注意，δ 是不能任意取的，打個比方好了，今天防守敵軍來襲，
所需要使用的防禦武器選擇，
並不是由總兵大人，或是何老闆，或是小妍你和一休我所能決定的，
『是由打過來砲彈ε來決定我們要用什麼δ去防守。』
如果δ取得太大，就不能保証 |f(x)-L|<ε了！
所以，一般δ的選取是要看ε來決定的；
當然，除了 ε的大小會影響到δ以外，函數 f 的形式也會有影響。
於是數學家會這麼講:『δ是ε的函數，δ的值被ε所統御，δ可以寫成δ(ε)。』
小妍：好像有點難，可不可以舉個例子。
一休：在我舉例之前，我再次強調ε這個大於零的實數必須先被選擇出來，
然後正數δ才『被』產生出來。
如果對於所有提出的ε，都可以找到δ予以應付的住，
我們便說：函數在該點處之極限值存在。
容我立刻寫下嚴格的極限定義，
我但願妳看著這個剛剛還不知所云的定義，已能有不同的觀點與感受。
Definition （precise meaning of limit）
『for allε>0，exist δ>0，such that whenever 0<|x-a|<δ ＝＞ |f(x)-L|<ε』
EX： Prove lim（2x+1）＝7
x->3
戰況分析：
攻方魯班（楚國），守方墨翟（宋國）
戰國初年楚國攻宋，大戰即將展開，
魯班將會以任何ε＞0為武器對墨翟發出挑戰，
現在魯班選擇ε＝0.01，墨翟看了一下lim（2x+1） x->3，
他猜測這個極限應該會是7。
現在墨翟是否能找出一個δ使得當 0<| x-3 |<δ 時，
會讓 |（2x+1)－7）| ＜ 0.01？
墨翟運用一點小小代數技巧寫下
|（2x+1)－7）| ＜ 0.01 ＜＝＞ 2｜x-3｜＜0.01 ＜＝＞
0.01
｜x－3｜＜ -----
2
墨翟胸有成竹的說：只要我δ取 0.01/2（或者是更小）
也就是讓0＜｜x-3｜＜0.01/2 ，便可抵擋你的砲火，
使 |（2x+1)－7）| ＜ 0.01
這巴掌惱火了魯班，他決計使出更為猛烈的攻勢，再次挑戰，
這次他毫不手軟的提出ε＝0.000001，
墨翟這下要怎麼防守呢？他笑了:魯老弟，你還真『盧』咧！硬是想再被羞辱一次。
|（2x+1)－7| ＜ 0.000001 ＜＝＞ 2｜x-3｜＜0.000001 ＜＝＞
0.000001
｜x－3｜＜ -----------
2
我取δ＝（0.000001）/2 ，使得當 0＜｜x－3｜＜（0.000001）/2 ，
便保證|（2x+1)－7| ＜ 0.000001
我看你也別氣的這樣敲桌子踢板凳囉～～早點帶著你的砲彈回家養老吧！
魯班趕緊回部隊和幕僚商討研發更小的ε，墨翟搖搖頭，心想，
這樣戰事下去也是沒完沒了
（永遠無法『證明完』這個極限，因為魯班可以一而再再而三不斷提出更小的ε），
有沒有一勞永逸的方法？他坐下來喝了口茶，決定寫一封信親自交給敵營的魯班…
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
魯老弟親親如晤：
多年不見，別來無恙，在這裡我也不說客套話了，您仔細瞧瞧吧：
ε
|（2x+1)－7）| ＜ε ＜＝＞ 2｜x-3｜＜ε ＜＝＞ ｜x－3｜＜ -----
2
只要我取δ＝ε/2 ，也就是每當｜x－3｜＜ε/2 ，就確保 |（2x+1)－7）| ＜ε，
到這個時候你也該知道，無論是現在還是將來，你的一切努力都將徒勞無功。
宋國只是個瘠弱的小國，楚王有容乃大，
至於魯兄，不如早點打道回府才無損您閣下的智慧。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
魯班當場展信看完『我還是知道怎麼打贏宋國，我有辦法！』停了一會，
魯般訕訕的說：『真的！我有辦法，但是我不說……』
『我也知道你怎麼贏我的』墨翟卻鎮定的說：『但是我也不說。』
『你們說的是些什麼呀？！』楚王驚訝的問道。
『魯老弟的意思』墨翟旋轉身去，回答道：
『不過是想殺掉我，以為殺掉我，宋就沒有人守，就可以攻了。
然而我的好朋友一休已經把這個守城（極限）的秘密告知給小妍、李武靖、
將軍大人，甚至連麗心小姐都知道了，那娘子的大嘴巴是出了名的，
想必現在全宋國都知道了，並且熱烈歡迎楚國的挑戰。
魯老弟就是殺掉我，也還是攻不下的！』
『先生是主張非攻的。墨老師，我沒有見你的時候，想取宋；
一見你，即使白送我宋國，也沒有讓我得以窺見極限的奧義還來的快樂。』
面向楚王：『大王！我們還是回去吧！』
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一休：借用這個歷史故事，我相信聰明如妳已經能把握嚴謹極限的精神，
接下來就是多做些題目，好讓這個初釀的思想更為通透清澈。
小妍：呵呵～～聰明的一休，你舉的例子不只淺顯易懂，也太貼切了，
春秋戰國百家爭鳴，燭之武、蘇秦、張儀、范雎、孟軻……
以能言善道，三寸不爛之舌縱橫捭闔諸國，得君行道以為志者，多到簡直氾濫。
或許當年若多個數學家而少個兵家、法家之流，天下會多一點太平也說不定。
一休：呵呵！就妳剛剛那句話，我本想繼續同妳長篇大論一番。
不過現在時候不早了，趕緊把今天的討論做個總結吧：
妳現在已經知道……
數學家並不是無端的要把極限的定義寫的這樣猙獰醜陋又咬文嚼字，
相反的，只有這樣子的定義，才能把宋國解脫，才能讓魯班低頭，
才能把極限存在的證明劃下句點，否則將永無止盡。
也只有這樣看似玄之又玄，實則清澈乾淨的定義，才能放諸四海皆準，
否則甲的說詞是一套，乙的說詞又是一套，
『要多接近有多接近，且不碰到』這是一番含混曖昧的話語，不是嗎？
妳再看看同樣打混的話，
總兵大人前幾天跟我這樣說：『很接近，但不是0啦！
所以可以放在分母求切線斜率……啊！就說不是0啦！
我問：『那到底是什麼？是數字嗎？是幽魂嗎？』
他說這有什麼好問的，因為……他……也回答不出來，
反正他氣急敗壞的不斷辯解：要多接近0就有多接近0啦……』
小妍：呵呵～～如今我聽了這番話也覺得有點離譜，
剛剛我還沈淪在這種『說詞』當中咧！
想不到現在我已脫胎換骨，當然，這都要感謝一休您的調教。
我在想：這麼快就能理解並贊同極限的奧義，
或許我真具有數學家的天分與素質喔？你說呢！一休……？
一休：別傻了，這一切都是幻覺。數學家真能這麼容易當的話，我也不作和尚了！
下次換妳教總兵大人喔！
呼～～妳瞧，說著說著天都快黑了，
修念、珍念想必等到都餓壞了，咱們快回去吧！
小妍：嗯，OK！～～～…………ㄚ你怎麼用跑的呀，等等我呀一休～～～
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