承接ckaha大的方便性
有直線參數式的方向就拿出方便的方向向量
有一般式的法向量就拿出方便的法向量

同時，也建議您多提醒學生畫圖
處理直線與平面有關於"判斷角度"與"判斷是否垂直平行"的問題時
或者大部份與"圖形"有關的問題時
簡單地畫出圖形之後(或熟練之後把圖形內化於心中)
除了比較清楚了解問題所求，例如上述之交角為何之外
也自然能直觀地看出什麼場合適合用法向量，什麼場合適合用方向向量
或者該如何地利用法向量與法向向量較為方便、有效

此外，若談到進一步推廣或未來的學習
(特別是自然組的學生，大學微積分或微分方程還是會討論直線、曲線等之夾角)
這二種方法則不可偏廢

2維xy平面上的直線方程式:ax+by=c
不考慮正反向與長短的話
其法向量與方向向量皆具"唯一性"
因此，兩者自然都行得通

然而，就維度上的推廣有兩類:

3維空間中的平面ax+by+cz=d (1)

3維空間中的直線x=x_0+Lt
y=y_0+Mt
z=z_0+Nt 其中t為實數 (2)

(當然，再推廣上去就是n維空間中的超平面或直線)

形如(1)式的平面方程式，最能拿出來"代表"其方向的，便是其 法向量(a,b,c)
形如(1)式的直線參數式，最能拿出來"代表"其方向的，便是其方向向量(L,M,N)
(某種形式上的唯一性，而具有代表性)

因此，二種方法都會之後，在處理空間圖形時，便較能得心應手


另一種推廣則是
直線→曲線
平面→曲面

例如:求兩曲線在某一點之夾角時，其定義為兩曲線在該點的切線之夾角

這時，一旦我們有了曲線的參數式，容易地(微分)能得到在該點切線之方向向量
因此，求參數式類的曲線夾角，利用方向向量自然也有其便利性

至於曲面，我們通常可找出該點的切平面，這時，則必需利用法向量





※ 引述《ckaha (★閃亮數學推理★)》之銘言：
: ※ 引述《a462428 (技偉)》之銘言：
: : 1.年級：高二
: : 2.科目：數學
: : 3.章節：平面向量
: : 4.題目：
: : 算兩線的夾角時,用兩線的法向量,並用cos就可求夾角,突然想到
: : 為什麼不直接用方向向量就好了,從參數式不就可以直接看出方向
: : 向量,那這樣不是更方便嗎?
: : 5.想法：
: : 用方向向量算出來的答案,好像都是對的
: : 到底是為什麼呢= = ????
: 你這問題重點在學習如何在R^n空間中的兩個圖形求取角度
: 通常這裡是先講完"定義空間中的角度"之後
: (包含平面、空間，當然"定義"是什麼....應該不用多說吧?)
: 的一個應用部分
: 看你要L 對 L (2D、3D)
: L 對 E (3D)
: E 對 E (3D)
: 都可以
: 為什麼不用方向向量?
: 因為在平面上如果是給直線方程式
: 法向量不是一眼就看出來了嗎?
: 如果給參數式
: 那就是使用方向向量來求比較方便
: 那如果是3D中的 L 對 E 呢?
: 其實原因只有一個: 方便
: 如果覺得方向向量比較方便 那也沒關係 就用吧
: 畢竟這邊的題目主要是"練習求角度"而已

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.122.174.173