為什麼這篇t分布自由度鄉民發文收入到精華區：因為在t分布自由度這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者lisa090914 (好天氣，好心情~)看板Statistics標題[問題] 樣本平均數及變異...
最近念到樣本平均數跟樣本變異數的抽樣分配
一直不太懂的是 為什麼當μ已知時 s^2的抽樣分配的自由度是n 未知時是n-1
當μ已知 S^2 = 1/nΣ(Xi-μ)^2
當μ未知 S^2 = 1/(n-1)Σ(Xi-Xbar)^2
(Σi=1~n)
而當σ已知時 Xbar的抽樣分配自由度也是n 未知時n-1
是因為未知的時候要用Xbar跟s來分別估計μ跟σ嗎?
然後為什麼在σ未知的情況下 Xbar的抽樣分配要換成用t統計量算呢?
感謝各位大大解惑了QQ m(_ _)m
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推 circlelee: 這樣才會符合估計的不偏性 而且期望值=母群變異 12/22 19:42
推 circlelee: 少一個自由度 抽樣分配就會變的較不穩定 從常態變高狹 12/22 19:49
→ celestialgod: 你是大一？還是大二以上？有學過數理統計學嗎？ 12/22 19:50
→ circlelee: 板主 這應該可由數理統計的公式去證明吧？ 12/22 19:51
→ celestialgod: 他假設是常態，不過其實任意分布，期望值變異數存在 12/22 19:53
→ celestialgod: 即可 12/22 19:54
→ celestialgod: 這個證明，大一只需要稍微看過就好 12/22 19:54
→ celestialgod: 學數統的話，要把前提記清楚，證明也要會 12/22 19:54
→ celestialgod: 大二以上非統計的話，稍微看過即可 12/22 19:55
→ celestialgod: 抽象一點，解釋的話，你sample是在n維，mu unknown 12/22 19:56
→ celestialgod: 下，你要先估計mu，會被占走一個維度， 12/22 19:57
→ celestialgod: 由剩下n-1個維度去估計變異數 12/22 19:57
→ celestialgod: 回circlelee大大，是在數統裡證明沒錯 12/22 19:58
→ celestialgod: 跟數統公式無關吧 12/22 19:58
推 circlelee: 有種說法是 xbar被拿去估計母群的mu，為了讓xbar固定 12/22 19:59
→ circlelee: 自由抽樣的個數 從n個 變成n-1 12/22 20:00
→ circlelee: 板主： 我是指的是 常態分配的公式 推導成t分配的過程 12/22 20:00
→ celestialgod: 常態推到t?? t分布應該是定義出來的吧XDDD 12/22 20:02
推 circlelee: 常態等於t分配自由度無窮大，自由度愈大愈接近常態 12/22 20:04
→ circlelee: 自由度愈小 則愈顯高狹 所以我才想像t可由常態推導 12/22 20:05
→ celestialgod: 那是t分配的特性 12/22 20:05
→ circlelee: 不過理論上的東西 我就比較不懂 我推想而已 12/22 20:05
→ celestialgod: t檢定是被提出來，建議變異數未知下，使用它可以有 12/22 20:08
→ celestialgod: 比較好的檢定力 12/22 20:08
→ celestialgod: 有興趣可以比比看變異數未知下，z-test跟t-test的 12/22 20:09
→ celestialgod: 檢定力 12/22 20:09
→ celestialgod: 還有型一誤差 12/22 20:09
→ celestialgod: 如果上述有錯，再麻煩其他大大更正。 12/22 20:09
→ celestialgod: 更正一件事情，t分配是mu unknown時，X bar的抽樣 12/22 20:40
→ celestialgod: 分配，應該是被推導出來的，上面說定義不合宜。 12/22 20:40
推 circlelee: 推板主認真！ 12/22 21:09
推 goshfju: 可利用 Σ(Xi-μ)^2=Σ(Xi-μ)^2+n(Xbar-μ)^2 去看 12/22 22:45
→ goshfju: Σ(Xi-μ)^2/σ^2=ΣZi^2為卡方(n)分配 12/22 22:46
→ goshfju: n(Xbar-μ)^2=[(Xbar-μ)/(σ/√n)]^2=Z^2為卡方(1)分配 12/22 22:46
→ goshfju: 故Q=Σ(Xi-Xbar)^2/σ^2=(n-1)S^2/σ^2為χ^2(n-1)分配 12/22 22:47
→ goshfju: 由上面也可看出Σ(Xi-μ)^2自由度為n 12/22 22:48
→ goshfju: μ被Xbar取代後 Σ(Xi-Xbar)^2 自由度成為n-1 12/22 22:48
→ goshfju: 定義t=Z/√(Q/v) 為自由度v的t分配 12/22 22:50
→ goshfju: 這裡 Z=(Xbar-μ)/(σ/√n) , Q=(n-1)S^2/σ^2 , v=n-1 12/22 22:50
→ goshfju: 都代進去後消一消就可得 t=(Xbar-μ)/(s/√n) 為自由度 12/22 22:51
→ goshfju: n-1的t分配 12/22 22:51
→ goshfju: 我推文第三行有漏 12/22 22:52
→ goshfju: n(Xbar-μ)^2/σ^2=[(Xbar-μ)/(σ/√n)]^2 才對 12/22 22:53
→ lisa090914: 感謝版主、circle大跟gosh大!!! 看到不偏性之後翻一下 12/22 23:55
→ lisa090914: 書就大概懂了 第二個t分配那邊是用推導出來的 是我一 12/22 23:57
推 goshfju: 不偏性可解釋為何樣本變異數分母要除以n-1 12/22 23:58
→ lisa090914: 開始沒看懂 我再研究一下 12/22 23:58
→ goshfju: 不過自由度會減一最主要還是因為用Xbar取代μ 12/22 23:58
→ lisa090914: 想問一下circle大 自由度那邊你說"為了讓Xbar固定" 12/23 00:00
→ lisa090914: 是要固定成什麼值阿? 12/23 00:01
推 goshfju: 其實Σ(Xi-Xbar)^2/"n"也可當作樣本變異數 12/23 00:01
→ goshfju: 他也有蠻多好的性質 只是沒有不偏性 而他自由度還是n-1 12/23 00:02
→ lisa090914: gosh大 所以可以解釋成 為了符合不偏性所以要除以n-1 12/23 00:03
→ lisa090914: 嗎? 其實還是不太懂為什麼是n-1@@ 有點抽象 12/23 00:04
推 goshfju: 數學的結果 S^2=Σ(Xi-Xbar)^2/"n-1" 12/23 00:05
→ goshfju: 才會有 E(S^2)=...(數學運算)...=σ^2 12/23 00:06
→ lisa090914: 嗯...計算過程我懂 但要怎麼解釋讓他比較好記是我正 12/23 00:09
→ lisa090914: 傷腦筋的地方ˊ^ˋ 12/23 00:09
推 goshfju: 不偏性就是平均來說會中的意思 你可以看成在射標靶 12/23 00:10
→ goshfju: 雖然不會每次正中紅心 但平均來說是在紅心的地方 12/23 00:10
推 goshfju: 至於為什麼除以n-1會有不偏性 很難用直覺去想XD 12/23 00:12
→ goshfju: 你可以找個例子驗證 做出樣本平均數的抽樣分配 12/23 00:13
→ goshfju: 會發現真的需要除以n-1 才會滿足不偏性 12/23 00:14
→ lisa090914: 剛剛上面circle大的"為了讓固定Xbar"的說法我好像快懂 12/23 00:17
→ lisa090914: 了可是還差一點XD 12/23 00:17
推 circlelee: Xbar要假裝成母群的mu 所以在抽樣分配中 就不能動 12/23 10:27
→ circlelee: 不能動的情況下，自由度就少了1個。 12/23 10:28
→ circlelee: 比如 某三個數的平均數為10 前兩個數自由抽取為14、9 12/23 10:28
→ circlelee: 最後一個數 就不能動 一定要變成7 這樣平均才會是10 12/23 10:29
→ circlelee: 變異數的概念 也就是 離均差平方和 除以 自由度 12/23 10:31
→ lisa090914: circle大 所以是因為Xbar要固定成某個值(但不一定是) 12/23 14:29
→ lisa090914: 真正的mu) 所以要少一個自由度囉? 12/23 14:29
→ circlelee: 不是某個值，就是要當成mu！mu的唯一估計值 12/23 17:05
→ yhliu: 談 "自由度" 完全可以不涉及 "不偏" 與否的問題. 可參考 12/24 08:41
→ yhliu: telnet://bs2.to:443 Statistics 版精華區 3→1→14 12/24 08:43
→ yhliu: Xbar 若要談自由度, 定的自由度是 1, 不是 n-1 也不是 n. 12/24 08:44
→ lisa090914: 感謝yhlin大!!! 用離均差來解釋就懂了!!! 太感謝了QQQ 12/26 19:42