想請問一下下面這件事是否恆成立:

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【Guess】

給定一個L^2函數f(t), t€R
定義f_M(t) := f(t) , t€[-M,M]
0 , else
如果: (1) f_M(t)€L^1 for all M>0
(2) lim_{M→∞} F{f_M}(x) = g(x) a.e. x€R
, where F{f_M}(x) is the Fourier transform of f_M

則 F{f}(x) = g(x) a.e. x€R
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會有這個問題是因為, sinc(t)的傅立葉轉換是rect(x)很容易藉由sinc(t)的瑕積分得到

但是剛剛對sinc(t)詳細跑一次L^2函數的傅立葉轉換嚴格定義時, 發現好像沒那麼簡單

以f(t) := sinc(t) & g(x) = rect(x) 來說, 確實符合上面的(1)跟(2)

但是按照L^2傅立葉轉換的定義, 必須還要證明:

(A) f_M(t)€L^1∩L^2 ... 這個trivial

(B) F{f_M}(x) → g(x) in L^2 sense

也就是說, (2)只有逐點sense, 並非L^2 sense

而我沒印象有任何通論是有關"逐點收斂則L^p收斂"...


所以是【Guess】恆對, 只是要證明而已

還是說不一定, 只是sinc(t)剛好符合而已

而不管哪個結論, 再請版友提供證明方向, 謝謝!
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Update:跟朋友討論後, 【Guess】是對的, 證明如下

1. 證明 f_M→f in L^2
2. 藉由 https://imgur.com/cw3l5Ye 得知F{f_M}→h in L^2, for some h€L^2
3. 承2., 因為conv in L^2, 所以conv in measure, 所以存在子列f_M_k
使得 F{f_M_k}(x)→h(x) a.e. in pointwise sense
4. 因為原條件告訴我們 F{f_M}(x)→g(x), 所以h(x) = g(x) a.e.

目前算是解決了, 只是直覺上覺得有點" 繞 "
因為從以前到現在看到很多關於" F{sinc} = rect "的證明都只是計算瑕積分收斂而已
而這個逐點收斂函數確實其傅立葉變換卻沒有多加著墨
所以我才猜說應該有trivial的看法, 不然不會大家都算完瑕積分就結束了...

還是說1.~4.是trivial...

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1641060182.A.A5E.html

R大意思是:
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若f_n, f€L^1∩L^2, 且f_n→f in L^2
則F{f_n} → F{f} in L^2
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這樣嗎? 可是我看不出這個能證出【Guess】耶

況且f也不是L^1
能再說詳細一點嗎, 謝謝!


確實F在L^2 1-1, onto的話可以這麼做, 但是仍好奇【Guess】是否是對的, 還是sinc只
是特例而已
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 01/02/2022 21:51:25

1. 工數應該沒有正式定義L^2的傅立業轉換吧XDD

2. 原來Stein有討論這一塊 我再去參考看看

3. 主要是想知道我從以前都沒看過有人在討論這個問題是因為:
(1) 有trivial的證法, 但是我卻拿核彈炸螞蟻
(2) 文末的解法1.~4.是trivial
(3) 不trivial所以忽略
目前看起來應該是(3)

謝謝c大的討論~
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 01/04/2022 22:01:40