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[爆卦]orthogonal matrix證明是什麼？優點缺點精華區懶人包

為什麼這篇orthogonal matrix證明鄉民發文收入到精華區：因為在orthogonal matrix證明這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者beargg0305 (bear)看板Grad-ProbAsk標題[理工] [線代] 投影矩陣時...

作者beargg0305 (bear)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] [線代] 投影矩陣
時間Wed Dec 28 14:54:52 2016
http://i.imgur.com/v5j5BWN.jpg
我想問一下B選項錯在哪
解答上寫說P的eigenvector未必線性獨立
但根據我的理解
P為對稱 => 可對角化 <=> n個線性獨立eigenvector
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.136.211.74
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1482908094.A.34F.html
※ 編輯: beargg0305 (223.136.211.74), 12/28/2016 14:55:49
推 yupog2003: 具有n哥線性獨立的eigen vector不代表他們的eigen 12/28 15:04
→ yupog2003: vector都是線性獨立的，注意，eigen vector有無限多個 12/28 15:05
→ yupog2003: d選項的話eigenvalue都會是{-1,1,1,1,1,1} 12/28 15:14
→ yupog2003: 因為他是householder矩陣 12/28 15:14
→ Transfat: (b)的話要挑語病就像是yupog說的，同一個eigenvalue可以 12/28 15:42
→ Transfat: 對到無限個dependent eigenvector, 所以不一定線性獨立 12/28 15:43
推 PTTleader: P是projection PP=P 又是orthogonal P^-1=P^T 12/28 15:54
→ PTTleader: PPP^-1 = PP^-1 這樣不會變成 P=I 嗎 這樣rank(P)就=6 12/28 15:55
→ PTTleader: 可是projection matrix 不是一定有非0的v 讓Pv = 0 嗎 12/28 15:56
→ PTTleader: 還是我搞錯了 12/28 15:57
推 Transfat: PP=P 不一定P=I 呀 12/28 15:57
→ Transfat: 其實就像你說得，可以找到“n個“線性獨立的eigenvector 12/28 15:58
→ Transfat: 不過題目是問P的eigenvector, 所以不會“全部"都是獨立 12/28 15:59
推 PTTleader: 我看課本 A是正交<=>A^-1 = A^T 有這特性ㄟ 12/28 16:00
→ PTTleader: 那不就是表示正交不就一定有反矩陣嗎 12/28 16:01
→ PTTleader: PP 跟 P 各乘 一個P^-1 不會變成P=I嗎 12/28 16:02
→ yupog2003: a選項我也有問題，我的想法跟P大一樣 12/28 16:16
推 krusnoopy: 答案有a吧,正交矩陣 => 行orthonormal => 每個vector線 12/28 16:20
→ krusnoopy: 性獨立=> rank=n 12/28 16:20
→ yupog2003: 可是P如果等於I的話感覺又不能為projection matrix了 12/28 16:20
推 krusnoopy: I是投影矩陣,如果投影到整個V上,投影矩陣就是I 12/28 16:22
→ yupog2003: 喔對吼，投影到整個V上也算，一直鬼打牆XD 12/28 16:24
→ yupog2003: 所以只要orthogonal matrix，rank就可以等於n了 12/28 16:26
→ yupog2003: 不需要加projection這個條件，感謝k大 12/28 16:26
推 krusnoopy: 因為正交矩陣定義是行orthonormal,如果是行orthogonal 12/28 16:28
→ krusnoopy: 就有可能不獨立 12/28 16:28
推 PTTleader: !!! 我也沒想到I是projection這點 這樣能確定P就是I嗎 12/28 16:30
→ yupog2003: 我覺得可以，證明感覺沒什麼問題，而且orthogonal跟 12/28 16:33
→ yupog2003: projection條件這麼強烈，感覺上就沒有不合理 12/28 16:33
推 PTTleader: 我發現第七章有正交投影矩陣 好像不代表是正交矩陣 12/28 16:48
→ PTTleader: 應該是兩種不同的東西哈哈 12/28 16:48
→ yupog2003: 確認個觀念，行orthogonal有可能不獨立是因為0向量嗎？ 12/28 16:49
→ PTTleader: 題目應該是指第七章的正交投影矩陣 12/28 16:49
→ gouya: 正交矩陣⇔∣λ∣=1⇔det=±1⇔可逆 12/28 16:49
→ gouya: T*T=I 佈於複數叫么正佈於實數叫正交與第七章垂直那個正交 12/28 16:54
→ gouya: 無關 12/28 16:54
→ yupog2003: P大的意思是題目應該是在問orthogonal projection， 12/28 16:54
→ yupog2003: 而不是在問又orthogonal又projection嗎？ 12/28 16:54
推 PTTleader: 恩恩 12/28 16:56
→ yupog2003: 慘了我亂了，等我能碰到線代課本再來想XD 12/28 16:59
推 aa06697: orthogonal不是指他是orthogonal matrix吧@@ 而是指他是o 12/28 16:59
→ aa06697: rthogonal projection 12/28 16:59
→ aa06697: 啊 原來樓上已經回惹 12/28 17:00
推 krusnoopy: 嗯,是因為可以存在0向量,去掉0就一定會獨立 12/28 17:02
→ krusnoopy: 原來我會錯義了 12/28 17:03
→ krusnoopy: 那orthogonal projection matrix跟projection matrix 12/28 17:04
→ krusnoopy: 有啥區別 12/28 17:04
→ gouya: 看到了，題目所說的應該是指第七章那個正交投影矩陣 12/28 17:05
→ aa06697: 我反而想問c為什麼是對的@@ idempotent一定是symmetric? 12/28 17:05
→ aa06697: wiki上有定義projection跟orthogonal projection~網址太 12/28 17:07
→ aa06697: 長就不貼上來惹 12/28 17:07
→ krusnoopy: 哪裡寫c對？ 12/28 17:07
→ krusnoopy: 瞭解 感謝 12/28 17:07
推 aa06697: 說反了 c是錯的 所以意思是指idempotent必定symmetric? 12/28 17:12
→ krusnoopy: 看過之後覺得c是對的XDD 12/28 17:18
→ lingege32: p是投影矩陣 有 p=p^2=p^t的性質 所以是對稱 對稱矩陣 12/28 17:20
→ lingege32: 可以正交對角化 12/28 17:20
推 krusnoopy: 正交投影矩陣一定對稱..我又把正交矩陣弄在一起了 12/28 17:22
→ krusnoopy: http://i.imgur.com/AFhd6K2.jpg 12/28 17:23
推 aa06697: l大請問p=p^t是怎麼推出來的呢？ k大那個定理我有看到但 12/28 17:38
→ aa06697: 我想說不是應該是單向的嗎? 還是說所有正交投影矩陣都可 12/28 17:38
→ aa06697: 以表示成A(A^hA)^-1 A^H且A行獨立？ 12/28 17:38
→ aa06697: 啊啊 還是那一串就是正交投影矩陣的定義= =？ 12/28 17:38
推 gary19941208: To aa大：你把要投影到的空間的basis擺成A的行向量 12/28 17:49
→ gary19941208: ，那投影矩陣就會長那樣，因為一定行獨立，所以A^TA 12/28 17:49
→ gary19941208: 可逆 12/28 17:49
→ gouya: 上面那張圖裡面就有P^T=P 的證明了，就是直接把P=那串取T 12/28 17:50
→ gary19941208: 要表示成那樣前提是A要行獨立，不過一定有辦法取行 12/28 17:50
→ gary19941208: 獨立的A，所以投影矩陣都可以表示成那樣，因果關係 12/28 17:50
→ gary19941208: 應該是這樣 12/28 17:50
→ aa06697: 喔喔喔喔我懂惹 一定找得到那個行獨立的A g大說法簡單明 12/28 17:53
→ aa06697: 瞭 謝謝 12/28 17:53
→ aa06697: 雖然感覺有點不太嚴謹XD 因為那個好像要在歐式空間+標準 12/28 17:54
→ aa06697: 內積才會有那一串 12/28 17:54
推 krusnoopy: 在線代啟示錄的“冪等矩陣”有去證明正交矩陣=>對稱矩 12/28 18:38
→ krusnoopy: 陣這個方向,可以參照一下 12/28 18:38
→ krusnoopy: 打精確一點..正交投影矩陣=>對稱矩陣 12/28 18:41
推 hahaha81: (b) 不同特徵值對應到的特徵向量必定orthogonal 但同一 12/28 20:01
→ hahaha81: 個特徵值的特徵向量不一定 12/28 20:01
推 hahaha81: 不挑1f語病的話 (b)but not orthogonal是錯的 可以是ort 12/28 20:12
→ hahaha81: hogonal也可以不是 12/28 20:12

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