為什麼這篇eigenvalue重根鄉民發文收入到精華區：因為在eigenvalue重根這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者popular10347 (popular)看板Grad-ProbAsk標題[理工][線代]對角...
看了黃子嘉老師的線性代數下冊
對角化有個定理不是很懂，請神人幫忙解惑，謝謝
Q1:thm.5-21 p.5-64
假設 A : n x n，pA(x)在F中可分解且pA(x)=(λ1-x)(λ2-x)...(λn-x)，則
(1)det(A)=λ1λ2λ3...λn
(2)tr(A)=λ1+λ2+λ3+...λn
想問說Ａ可分解是假設的還是所有nxn matrix都可以分解?
因為我看下面的練習題都是直接當成矩陣可分解.
所有nxn矩陣的det和tr都可以這樣算?
Q2:另外，旁邊p5-65的台大考題:
If λ1,λ2,λ3,λ4,λ5 are all the eigenvalues of the matrix
／ ＼
︱ 4 -1 0 0 0 ︱
︱ ︱
A =︱ -1 3 -1 0 0 ︱
︱ ︱
︱ 0 -1 3 -1 0 ︱
︱ ︱
︱ 0 0 -1 3 -1 ︱
︱ ︱
︱ 0 0 0 -1 3 ︱
︱ ︱
＼ ／
Find (λ1)^2+(λ2)^2+(λ3)^2+(λ4)^2+(λ5)^2.
我不懂為什老師書上寫說:
"因為A具eigenvalue λ1,λ2,λ3,λ4,λ5
所以A^2具eigenvalue (λ1)^2...(λ5)^2"
Q3: 當有特徵方程式有重根時，他的eigenvalue要寫的和重根數一樣多還是只要寫一個?
eg: pA(x) = (x-1)^2,則所有的的eigenvalue為1,還是1,1?
老師書上兩種都有寫過
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◆ From: 1.34.27.208
推 Bearcome:第二題是eigenvalue表現定理 12/14 23:15
→ popular10347:Bearcome大大 你是說課本p.5-40 thm.5-12這個定理? 12/14 23:58
→ yraid:Q1在前一頁有可分解的定義 簡單來說就是根要落在F中 12/15 00:02
→ yraid:Q3的話要寫和重根數一樣多..你的那個例子兩個是一樣意思吧 12/15 00:07
→ popular10347:yraid大大 不好意思!想問一下是不是有eigenvalue就 12/15 00:22
→ popular10347:代表一定可分解? 如果是這樣我大概懂了 12/15 00:23
→ popular10347:另外，Q3的eigenvalue應該是兩個1...那寫答案是要 12/15 00:24
→ popular10347:寫兩個1還是一個1就好? 12/15 00:25
→ Murasaki0110:實矩陣一定有eigenvalue, 能不能對角化是另外的事 12/15 00:52
→ BaaaSwin:能不能對角化應該看有沒有少特徵向量?? 12/15 01:08
→ yraid:如果他說F在R中，那你解出一個虛根的eigenvalue就不可分解 12/15 07:37
→ yraid:但如果F是落在C中，則可以分解 12/15 07:40
→ yraid:一般會當作可分解是因為 平常寫題目較少碰到實矩陣但 12/15 07:45
→ yraid:特徵根卻是虛根的 12/15 07:46
→ yraid:Q3的話我會寫1,1...主要是因為可以表達出代數重數的概念 12/15 08:00
→ yraid:不過如果寫"其eigenvalue為1"我覺得也不算錯啦.. 12/15 08:01
→ yraid:因為那樣的意思就是把eigenvalue看做一個集合，集合不計重數 12/15 08:02
→ yraid:因為我在課本上只找到一題只寫一個的，所以還是建議寫成1,1 12/15 08:03
→ popular10347:謝謝yraid大大 12/15 23:28
→ popular10347:BaaaSwin大大你說的是對的 12/15 23:30
→ popular10347:抱歉! 上面打錯了... 12/15 23:32
→ popular10347:BaaaSwin大大我不太懂你的意思耶 12/15 23:33
→ popular10347:你說的應該是是否有n個線性獨立的特徵向量? 12/15 23:34
→ BaaaSwin:恩,是這個意思,我也搞不太懂 12/16 01:07
→ popular10347:其實這個就是從特徵向量空間中取出所有的basis 12/16 21:14