為什麼這篇非映成函數鄉民發文收入到精華區：因為在非映成函數這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者yulin0619 (愛在雨過天晴時)看板Math標題[其他] 離散 計數問題時間Thu Jul...
非映成函數 在 ?賭Sir｜數學考試專家 Instagram 的最讚貼文
2021-01-05 15:27:58
🔍好多M1同學喺【4大Distribution】做極唔識，以為數學訓練未夠，其實係假象，真相係卡喺文字理解，呢個先係真正嘅樽頸位🤢 Random Variable（隨機變量）係個非常典型嘅例子。十幾年前，就連我最初讀嘅時候，都卡得好辛苦，甚至連自己唔明啲乜都唔知🤯總之就係不斷做錯。後來...
https://i.imgur.com/il1dJVH.jpg
關於此題之(C)選項
想說寫一個完整證明
(資工，沒寫過數學證明)
想請大大幫我看，如下圖證明是否完整?
https://i.imgur.com/jEjbEDA.jpg
我的思路是:
利用子嘉老師書中用過的對角線論證法
然後將所有如題的所有實數令為A集合
再將A中的所有元素做編號
重點來了，必須令一函數，證明為一對一且映成的關係
因此我令一函數f(x,y) = k，而 k 即為編號，證明函數值k與A中之元素有一對一之關係
=> 得 A ~ (Z^+ * Z^+) ~ Z^+
觀念有誤懇請糾正
詳細如圖
字醜請見諒
懇請大大指教
希望嚴謹一點
大考才不會漏了細微之處
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.160.178.198 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1564065690.A.F09.html
※ 編輯: yulin0619 (1.160.178.198 臺灣), 07/25/2019 22:46:36
推 chemmachine : 你的函數可能設錯，我代f(x，y)=k x=2 y=3 k=11.111 07/25 22:51
→ chemmachine : 用你的公式是sigma n n從1到2+3-1+(3+1)，不合 07/25 22:52
如文中圖之列表，a_23之編號為14，也就是f(2,3) = 14套我原本寫的sigma公式，x=2，y=3代入 (n從 1 加到 2+3-1)
((4*5)/2) + 3 + 1 = 14
應該是無誤(?
順道一提，我寫的有誤
((sigma n) n從1加到x+y-1)+y+1
→ chemmachine : 我會這樣設，將11.111映至99.999， 99999.9映至 07/25 22:52
→ chemmachine : 11111.1 f(x)=9x 是1-1and onto 而每個9999...999 07/25 22:53
→ chemmachine : 小數點9999是 10^n-1+(1-10^(-m))存在m、n為0或 07/25 22:55
→ chemmachine : 正整數 07/25 22:55
→ chemmachine : 個數為Z+*Z+。你想法對，函數錯 07/25 22:56
感謝c大提供意見 感覺改成你給的函數，才能簡單地完整考慮到所有對應的元素包含在裡面→ Ricestone : 不用寫成k，直接保留aij->(i,j) <-這就是Z+*Z+元素 07/25 23:02
的確會怪怪的，因為原本是假設a_ij屬於A集合而A集合內的元素為題目所要求的實數
我的目的是 令一個函數f(x,y)，讓函數值為其所對應編號(Z^+) 而非實數
感覺我的函數有一點弄巧成拙 晚點更正c大給的想法再貼上來
→ Ricestone : 頂多把ij各加1防止算到0而已 07/25 23:03
→ Ricestone : 你要證明的其實是你這樣寫成aij是不是真的全都在裡 07/25 23:07
→ Ricestone : 面，剩下的都是你已經知道的定理了 07/25 23:08
→ Ricestone : 對角線證法其實就是講(Z+,Z+)~Z+這件事而已 07/25 23:09
→ Ricestone : 所以沒必要再寫一次 07/25 23:09
推 chemmachine : 推rice大,更正我的m n不會有0情形。 07/25 23:13
推 chemmachine : m可以0，n不可以 07/25 23:15
推 Vulpix : 要留一行給1.11...=10/9這種用。 07/25 23:28
請問目的為何呢?※ 編輯: yulin0619 (1.160.178.198 臺灣), 07/25/2019 23:55:49
→ Ricestone : 不太確定這種狀況有沒有必要考慮跟無限位有關的實數 07/25 23:34
→ Ricestone : 感覺如果考慮的話，那所有循環小數也要考慮了吧？ 07/25 23:35
→ Ricestone : 如果真要這樣的話，直接說所有循環小數都是有理數， 07/25 23:37
→ Ricestone : 不過這樣好像就沒證明這題的意義了，因為都是循環小 07/25 23:38
→ Ricestone : 數 07/25 23:38
推 chemmachine : 就算考慮循環小數，循環小數必定為分 07/25 23:39
→ chemmachine : 數，分數可數，一樣成立。 07/25 23:39
→ Ricestone : 所以你的意思就是現在你只是打算重寫一次(Z,Z)->Z 07/26 00:09
→ Ricestone : 這個對角論法的證明而已？ 07/26 00:09
推 Sfly : 我還以為是Cantor 老師的證法 07/26 00:26
→ Ricestone : 應該說，c大的證法不是你的對角線證法，你自己寫的 07/26 00:27
→ Ricestone : 那函數才是那方法的主旨 07/26 00:28
→ yulin0619 : 想請教，若以原本我假設的函數，以及對應方式 07/26 00:29
→ yulin0619 : 要如何證明 我所寫成aij已經全都包含在裡面了 ? 07/26 00:31
※ 編輯: yulin0619 (1.160.178.198 臺灣), 07/26/2019 00:32:09→ Ricestone : c大的證明一樣沒有說明全都在裡面啊，這是另一回事 07/26 00:33
→ Ricestone : 只是實際上你就說根據題目實數的構造方式，{aij} 07/26 00:33
→ Ricestone : 就是所有題目說的實數，這樣就夠了，因為這是真的 07/26 00:34
→ Ricestone : 沒什麼好證的 07/26 00:34
→ Ricestone : 當然如果要考慮無限位的話是需要再說 07/26 00:39
→ Ricestone : 簡單來說，我的意思是你現在寫的證明是Z*Z~Z的部份 07/26 00:40
→ Ricestone : 可是這算是定理的部份，而A~Z*Z才是你該證的東西 07/26 00:41
→ Ricestone : 只是對這題來說aij可以用很自然的方法得到 07/26 00:42
→ Ricestone : 也就是你寫的以小數點前後做分界寫成a_ij，頂多把j 07/26 00:43
→ Ricestone : 再加個1 之後就是套定理就好 07/26 00:44
→ Ricestone : 補充幫忙回答一下，V大的意思是就是會無窮大，所以 07/26 00:59
→ Ricestone : 會沒辦法出現普通的aij裡面 07/26 01:00
→ Ricestone : i或j會無窮大 07/26 01:00
→ Ricestone : 我發現循環小數那邊是我想太多想錯，誤以為有0 07/26 01:07
→ Ricestone : 那這樣狀況會只剩一類，考慮進去就不會差多少了 07/26 01:08
由1所組成的所有實數實數包含整數和有理數及無理數
若要符合題目要求，就包含了整數和有理數
而整數和有理數又包含正和負 ~
感謝R大告訴我證明這類的證明題 必須把題目所要求的都考慮進去
不過這題好像是簡答題，題目給的條件不適合拿來做嚴謹的證明XD
後續有不懂的證明問題在來板上求教
感謝你們
https://i.imgur.com/Lk0Gdtn.jpg
※ 編輯: yulin0619 (1.160.178.198 臺灣), 07/26/2019 02:28:25
※ 編輯: yulin0619 (1.160.178.198 臺灣), 07/26/2019 02:30:12
→ Ricestone : 其實V大說的方式就是不用用到這麼強的方式就能解決 07/26 02:31
→ Ricestone : 以原本我們的假設來說，因為對每個i，都只有一種無 07/26 02:32
→ Ricestone : 窮小數，所以我們可以選擇把這個無窮小數拉到第一格 07/26 02:32
→ Ricestone : ，後面都往後一格，這樣就能只用這論證證明可數 07/26 02:33
明白了，也就是說在使用對角論證時，一併把這類的無窮小數都納入考慮(直接列在第一列，其餘往後一列)→ Ricestone : 不過我也真的忘記考慮負數了... 07/26 02:39
※ 編輯: yulin0619 (1.160.178.198 臺灣), 07/26/2019 10:02:44推 chemmachine : 我看懂你原本證明， 應該是OK的。這個證明手法是 07/26 10:11
→ chemmachine : 康托證明有理數可數的技巧 07/26 10:12
推 chemmachine : 原題就是說111.1111映至 4/3 1.1映至 1/1 07/26 10:23
→ chemmachine : i個1小數點j個1映至 j/i 就是你的證法 07/26 10:24