※ 引述《roderick6887 (費洛蒙)》之銘言：
: 1.年級：大一
: 2.科目：微積分
: 3.章節：第一章 函數的極限與連續
: 4.題目：左極限=右極限,極限值存在;極限值=函數值,代表函數連續;
: 可微代表連續,連續不一定可微
: 題目都要設法證明函數連不連續,到底意義為何？
一個函數連不連續是一個重要的性質
連續也是一個很強的條件
一但一個函數是連續函數，它就有很多好的性質可用

這裡舉一些基本，常見的簡單性質:
連續函數相加、減、乘、除(分母不為0)、合成依然連續函數
中間值定理(高中階段的勘根定理，即為一特例)
可積分性
極值定理:在compact set上極植存在
在compact set上自動升極成均勻連續
把compact set送到compact set
把connected set送到connected set
把閉集拉回來變閉集
把開集拉回來變開集
或者，更進一步地，連續函數可以找到多項函數逼近之(應用上極重要)

: 我如果知道此函數連續？然後呢？有無任何(物理)意義或應用？
: 5.想法: 課本只寫函數在X0點處連續與不連續,是函數在一個點附近的特性.
: 但我覺得也許用在工程上（專業科目）可能有物理意義,如果有意義為何？

時間就是連續函數
所以我們常作時間與距離、時間與速度、時間與加速度的圖形
其中並把時間放在橫軸(x軸的角色)
進一步去處理這些具物理意義的函數


又或者說，很多大自然現象背後的函數是連續函數:
例如:物體的運動(拋物線或直線運動)
或是指數與對數函數
又或者連續的週期函數與sin與cos的關係

在了解了連續函數的各種性質之後，也方便進一步去研究這些大自然或科學現象


至於連續是如何定義的呢?

先定義f(x)在a點連續:
對所有的ε>0，存在δ>0 (與a點和δ有關)
使得，當d(x,a)<δ時，d(f(x),f(a))<ε

然後，再定義f(x)在整個區間I(或空間上)連續:
對所有a屬於I，f(a)皆連續


至於你說的"左極限=右極限,極限值存在;極限值=函數值,代表函數連續"

基本上，就是一種我們對函數在單點連續的直觀上的等價想法(高中把它當定義)

只要將f(x)在a點連續的定義與極限相關的定義作個比較

不難得到上面等價的直觀性質




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