熱門Ptt文章

[爆卦]不連續函數例子是什麼？優點缺點精華區懶人包

雖然這篇不連續函數例子鄉民發文沒有被收入到精華區：在不連續函數例子這個話題中，我們另外找到其它相關的精選爆讚文章

在 不連續函數例子產品中有6篇Facebook貼文，粉絲數超過4,514的網紅數學老師張旭，也在其Facebook貼文中提到， 【處處極限不存在的函數】 . 我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個...

　同時也有9部Youtube影片，追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭，也在其Youtube影片中提到，【摘要】 本習題包含著經典的練習題，也包含著體驗性質的題目。 前者包含驗證定理條件並證明函數有極大極小值，或是舉一些例子說明當定理前提不成立時，其結果有可能成立也有可能不成立 後者的體驗部份則是，在沒有極值定理或是微分工具之下，要徒手處理函數的極限是需要各別想辦法的。 【勘誤】 無，有任何錯誤歡迎...

「不連續函數例子」的推薦目錄

不連續函數例子 在 Spark Light 工作坊 Instagram 的最佳解答

2021-08-18 20:27:06

｜Spark Light工作坊｜ 📍｜主題｜ ▫️我該選數A還是數B？ 📍｜前情提要｜ ▫️新課綱的數學在高二時被分成了數A跟數B，不僅學習內容有所不同，在學測上也會被分成兩科分開測驗。那麼兩者的區別是什麼呢？而自己又應該選擇哪一個呢？今天就讓小編我來讓大家認識新課綱的數學吧！ 📍｜新課綱的數...

  • 數學老師張旭

    不連續函數例子 在 數學老師張旭 Facebook 的最佳貼文

    2021-08-03 04:07:07
    有 41 人按讚

    【處處極限不存在的函數】
    .
    　　我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個問題，那就是在設計了一個在某一點，例如說 a 點，極限不存在的函數以後，要如何改造這個函數，才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
    .
    　　（接下來的內容，建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來）
    .
    　　舉例來說，如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數（例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0；而當 x 大於 0 時其函數值均為 1），那麼要如何改造或調整這個函數，才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢？針對這個例子而言，或許可以這樣做：先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在，但因為 1 並非 0「旁邊」的數字，所以顯然還要再調整，於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在，但同樣地，因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字，所以我們繼續調整這個函數，下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5，依此類推，再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5，持續這樣的步驟，最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在，但是原本在調整時的兩點極限不存在，卻因無限持續這樣的步驟，而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
    .
    　　之所以會產生這樣的狀況，是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此，那如果不要持續上面的步驟無限次呢？如果僅持續有限次的步驟，那麼在該次步驟的下一次，一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些，這個推論的結果就是，如果僅持續有限次上述的步驟，那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果，無論是有限次或無限次操作上述的步驟，最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪，因為這意味著從一個點的極限不存在出發，去逐步改造出一個處處極限不存在的函數，方向很可能是錯誤的。
    .
    　　那麼，該怎麼辦呢？
    .
    　　面對這個問題，當時的我最終並沒有自己解出來，而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來，並告訴我他的想法。
    .
    　　他告訴我，既然從一個點的極限不存在開始是行不通的，那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧！例如一開始的函數乾脆設定成這樣：當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時，將其函數值設定為 0，而其他地方則設定為 1。例如，當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時，其函數值就是 0，而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時，其函數值就是 1。如此一來，我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
    .
    　　以此為起點，比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點，似乎好像有了長遠的進步，但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點，那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
    .
    　　為了解決這個問題，我的朋友告訴我，下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話，大概是這樣操作：例如，在 0 和 1 之間，函數值原本都是 0，但接下來把這個區間切割成 10 等分，然後第 1、3、5、7、9 個區間（也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間），我們把函數值調整成 1，其餘的不動，那麼我們就可以得到一個，除了在所有整數點極限都不存在的函數以外，這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間，則在等分割成 10 個區間以後，將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話，那麼在每一個整數區間（就是 n 到 n + 1 的區間）裡面，其十分位數的位置其極限都不存在。
    .
    　　接下來，再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間，然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0，而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間，但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1，那麼，這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外，但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
    .
    　　再接下來，繼續進行上面的動作，不斷地十等分分割之前產生的區間，並且適當地調整其函數值，使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ，或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態，持續無限次，最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
    .
    　　要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版，這邊我們先講簡單版，以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言，固定任何一點 a，其左極限只有兩種可能，0 或 1，但因為這個函數被分割地非常地密，而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動，所以這個函數在 a 點的左極限不存在，因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後，因為 a 這個點是任意取的，所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
    .
    　　這個答案真的很猛，因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
    .
    　　雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因，也因為我們還沒學到極限的嚴格定義，所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在，但現在回想起來，那位奧數朋友還是很猛！因為他就好像那種天生的小說家一樣，信手拈來就寫出了一本傑出的小說，而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
    .
    　　講到這裡，今天的故事似乎已經講完，但其實還沒，因為這樣聰明的人，並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
    .
    　　關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題，其實在 19 世紀時，就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家，他所創造出來的一種函數（後來稱為 Dirichlet 函數），就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下：當 x 為有理數時，其函數值是 1；當 x 不為有理數時，其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在，也是我教授當時給同學們預設的答案。
    .
    　　在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了，但我有拍一部影片來說明，如果你想繼續看下去，可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片，我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
    .
    　　雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在，但其實當初 Dirichlet 所面對的問題，並非「是否存在處處極限不存在的函數」，而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後，Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數，而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且，除了無法圖像化以外，Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位，因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期，那麼就會存在最小週期，但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數，因為任意有理數都是它的週期。
    .
    　　關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊，或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章，不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的，所以如果真的要寫的話，那可能就還要再等一陣子了。
    .
    　　最後，跟大家介紹一下我上面所提到的影片，那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
    .
    　　感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！

  • WorkFace Taipei

    不連續函數例子 在 WorkFace Taipei Facebook 的最佳解答

    2021-07-15 21:46:44
    有 13 人按讚

    【台北 | 07/15 #創變夜Live】感受到創造的巨大魔力嗎？
    ▶️區塊鏈與數位資產的跨域碰撞
    🎤區塊科技 執行長 黃敬博 Po Huang

    今晚的 #WorkFace 主題例會中，我們邀請 區塊科技 的 黃敬博 執行長，跟大家分享如何藉由「創造」不同以往的創新心態，在區塊鏈與數位資產領域，相互創造出的全新碰撞？

    🌟讓我們一起回顧今晚的精彩時刻！

    想想看你早上睡過頭的照片被偷拍，並且散佈到各處時，就算你即時要修圖美化一下，在區塊鏈上這張留存的圖片也無法被更改，這就是區塊鏈存證的簡單比喻！

    「而在了解區塊鏈技術前有兩個基礎概念要先認識。」Po 說到，那就是數位指紋與智能合約。

    所謂數位指紋，指的是把一堆資料使用數學函數計算之後的結果。資料中只要有一個byte不同算出來的「結果」就會不一樣，該「結果」就可以視為是那「一堆資料」的「數位指紋」，是用來確認檔案的身份的實際應用方案。

    而智能合約則是在區塊鏈中的執行程式碼，只要滿足特定條件就能觸法智能合約的自動執行，提供驗證及執行合約內所訂立的條件；利用區塊鏈的特性可以維持他不易串改的特性，讓程式碼保持公正透明公開。

    ✅如何「創造」區塊鏈與數位資產領域跨域應用？

    數位證據常見的疑慮，是容易被串改或不小心被刪除，要怎麼確保數位資料原始性，就仰賴數位指紋與區塊鏈的應用，以共有鏈提供的金鑰，與私有鏈人臉指紋辨識等技術，讓區塊鏈數位證據存證的系統可以做到保證數位檔案原始性、提升數位證據有效性與拓展數位資料蒐集型態的應用！

    而區塊科技主要專業領域，是提供檢警調單位現場蒐證應用，包含手機存證與電腦存證針對執發現場與資安蒐證的工具支援；在toC的層面則是應用發展在企業級的存證與簽約服務、智慧財產權的驗證、數位存證信函等貼近民生的日常數位存證需要。

    ❓在疫情中，區塊鏈數位存證能為生活帶來什麼改變？

    拿存證信函為例子，現在不能出門的時刻，如果需要這樣的服務該怎麼處理呢？

    區塊科技以區塊鏈數位存證技術，提供24小時無需實體的第三方公正存證系統，就可以化解疫情間不便出門的窘迫情境，同樣出發扁的還有公司端的數位合約簽名存證，過程中甚至會紀錄收雙方通知的時間，與同步提供合約電子檔案、合約歷程紀錄與以太坊交易頁面，方便法律上舉證有效進行！

    🗯連續創業者的領悟和心得

    「我想任何的創業都是要找到志同道合的團隊，並不是說需要多優秀，更多的是整體團隊合作的協調性！」po分享到，找到對人選，絕對是創業成功的必要條件！

    在創業項目上，則是需要關注在解決問題的可能性，像是數位存證就是關注在未來的趨勢預備跑道中，不過雖然解決議題具有前瞻性觀點，但當下的公司存留其實更加仰賴推廣宣傳的力道，因此區塊科技在這方面積極的與政府單位合作，推動數位資產的留存與培養其使用習慣。

    在創業後，更要不厭其煩的符合法規與政府要求，同時規劃短中長期的規劃，力求貫徹執行才不會使計畫落為空談；因應局勢調整，則是這個時代不論大小公司都要面對的議題，當中能夠使你的團隊脫穎而出的即是有效的溝通模式，最後建立該領域中的指標性地位，更是後期能否快速發展的重要里程碑！

    #創造 #週四主題例會 #WorkFaceTaipei #創變者社群

  • 數學老師張旭

    不連續函數例子 在 數學老師張旭 Facebook 的最佳貼文

    2020-06-10 16:46:31
    有 21 人按讚

    ▋歡迎用訂閱行動支持數學老師張旭 YT 頻道！
    ▋連結：https://www.youtube.com/channel/UCxBv4eDVLoj5XlRKM4iWj9g
    　
    ▋就在明天 (6/11)！張旭老師 Twitch 解百題微積分活動！
    ▋連結：https://reurl.cc/20yzEa
    　
    ▋歡迎參加本周許願池活動，留下你想聽我們講解的主題！
    ▋連結：https://www.facebook.com/changhsu.math/posts/145889890366526

    各位午安
    今天來跟大家分享一個微分的題型
    　
    之前分享的
    可能都用到很多技巧
    但今天這題
    我們返璞歸真
    從微分的定義出發
    　
    另外這題也是蠻重要的一題
    他說明了一個可微函數在微完分以後不一定連續
    　
    通常一個可微函數在微完分以後如果連續
    這種函數被稱為 C^1 函數
    　
    同理，如果一個可微分 n 次的函數
    在微了 n 次以後還是連續的話
    那就被稱為 C^n 函數
    　
    這類函數蠻多性質的
    所以常常是許多定理的條件之一
    　
    但經由這個例子我們又知道了可微函數在微完以後又不一定連續
    所以如果有些定理裡面出現函數必須為 C^n 的話
    那絕對不能隨便捨棄
    千萬要注意
    　
    ▋贊助支持推廣高等數學
    ▋歐付寶：https://reurl.cc/vD401k (台灣境內請用這個)
    ▋綠界：https://reurl.cc/3Dp7Ll (台灣境外用這個)
    ▋flyingV：https://reurl.cc/g7p48N (2020/7/17 結束)

你可能也想看看

搜尋相關網站