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[爆卦]函數連續證明是什麼？優點缺點精華區懶人包

雖然這篇函數連續證明鄉民發文沒有被收入到精華區：在函數連續證明這個話題中，我們另外找到其它相關的精選爆讚文章

在 函數連續證明產品中有18篇Facebook貼文，粉絲數超過4,514的網紅數學老師張旭，也在其Facebook貼文中提到， 【處處極限不存在的函數】 . 我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個...

　同時也有47部Youtube影片，追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭，也在其Youtube影片中提到，【摘要】 本習題練習證明特殊型四次函數有極值 【勘誤】 無，有任何錯誤歡迎留言告知 【習題】 檔案：https://drive.google.com/file/d/1-p3_HoViBhKPOQ15-jVXsjIhymDZqawZ/view 簡答：可在張旭的生存用微積分社團下載 社團： http...

「函數連續證明」的推薦目錄
  • 數學老師張旭

    函數連續證明 在 數學老師張旭 Facebook 的精選貼文

    2021-08-03 04:07:07
    有 41 人按讚

    【處處極限不存在的函數】
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    　　我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個問題，那就是在設計了一個在某一點，例如說 a 點，極限不存在的函數以後，要如何改造這個函數，才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
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    　　（接下來的內容，建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來）
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    　　舉例來說，如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數（例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0；而當 x 大於 0 時其函數值均為 1），那麼要如何改造或調整這個函數，才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢？針對這個例子而言，或許可以這樣做：先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在，但因為 1 並非 0「旁邊」的數字，所以顯然還要再調整，於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在，但同樣地，因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字，所以我們繼續調整這個函數，下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5，依此類推，再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5，持續這樣的步驟，最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在，但是原本在調整時的兩點極限不存在，卻因無限持續這樣的步驟，而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
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    　　之所以會產生這樣的狀況，是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此，那如果不要持續上面的步驟無限次呢？如果僅持續有限次的步驟，那麼在該次步驟的下一次，一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些，這個推論的結果就是，如果僅持續有限次上述的步驟，那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果，無論是有限次或無限次操作上述的步驟，最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪，因為這意味著從一個點的極限不存在出發，去逐步改造出一個處處極限不存在的函數，方向很可能是錯誤的。
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    　　那麼，該怎麼辦呢？
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    　　面對這個問題，當時的我最終並沒有自己解出來，而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來，並告訴我他的想法。
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    　　他告訴我，既然從一個點的極限不存在開始是行不通的，那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧！例如一開始的函數乾脆設定成這樣：當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時，將其函數值設定為 0，而其他地方則設定為 1。例如，當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時，其函數值就是 0，而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時，其函數值就是 1。如此一來，我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
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    　　以此為起點，比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點，似乎好像有了長遠的進步，但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點，那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
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    　　為了解決這個問題，我的朋友告訴我，下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話，大概是這樣操作：例如，在 0 和 1 之間，函數值原本都是 0，但接下來把這個區間切割成 10 等分，然後第 1、3、5、7、9 個區間（也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間），我們把函數值調整成 1，其餘的不動，那麼我們就可以得到一個，除了在所有整數點極限都不存在的函數以外，這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間，則在等分割成 10 個區間以後，將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話，那麼在每一個整數區間（就是 n 到 n + 1 的區間）裡面，其十分位數的位置其極限都不存在。
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    　　接下來，再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間，然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0，而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間，但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1，那麼，這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外，但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
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    　　再接下來，繼續進行上面的動作，不斷地十等分分割之前產生的區間，並且適當地調整其函數值，使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ，或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態，持續無限次，最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
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    　　要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版，這邊我們先講簡單版，以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言，固定任何一點 a，其左極限只有兩種可能，0 或 1，但因為這個函數被分割地非常地密，而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動，所以這個函數在 a 點的左極限不存在，因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後，因為 a 這個點是任意取的，所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
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    　　這個答案真的很猛，因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
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    　　雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因，也因為我們還沒學到極限的嚴格定義，所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在，但現在回想起來，那位奧數朋友還是很猛！因為他就好像那種天生的小說家一樣，信手拈來就寫出了一本傑出的小說，而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
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    　　講到這裡，今天的故事似乎已經講完，但其實還沒，因為這樣聰明的人，並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
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    　　關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題，其實在 19 世紀時，就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家，他所創造出來的一種函數（後來稱為 Dirichlet 函數），就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下：當 x 為有理數時，其函數值是 1；當 x 不為有理數時，其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在，也是我教授當時給同學們預設的答案。
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    　　在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了，但我有拍一部影片來說明，如果你想繼續看下去，可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片，我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
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    　　雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在，但其實當初 Dirichlet 所面對的問題，並非「是否存在處處極限不存在的函數」，而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後，Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數，而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且，除了無法圖像化以外，Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位，因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期，那麼就會存在最小週期，但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數，因為任意有理數都是它的週期。
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    　　關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊，或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章，不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的，所以如果真的要寫的話，那可能就還要再等一陣子了。
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    　　最後，跟大家介紹一下我上面所提到的影片，那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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    　　感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！

  • 數學老師張旭

    函數連續證明 在 數學老師張旭 Facebook 的最佳解答

    2021-06-05 21:53:01
    有 205 人按讚

    最近有些同學問我
    大一要修微積分，先看數甲微積分當預習行不行
    我的答案是，當然行，但肯定不夠
    而且不夠到第一次小考就馬上不夠用

    就像這個影片提到的指數函數的微分
    是大學微積分的標準內容
    但並不是高中微積分的標準內容

    高中微積分標準內容只有多項式微積分
    如果物理老師有多教，應該也只會多教三角函數積分
    指對數微積分絕大部分同學在高中根本不會碰到

    更別提反三角函數的微積分
    還有超越函數的微積分
    還有除了變數變換以外的積分方法
    如三角置換、分部積分和部分分式
    這些高中微積分都不會講到
    除非是數理資優班

    另外還有極限的嚴格定義證明
    這絕對是要升大一的同學們一開始就會碰到的超難關卡
    理工學院學生學微積分最初的惡夢
    如果你也有過這樣的惡夢
    你會知道我在說什麼

    所以今年升大一以前
    我規劃了 10 堂課的大一微積分先修班直播課程
    內容包含大一微積分從極限、微分到積分的重點內容
    而且直播課程讓同學跟課時有問題可隨時發問
    而且在家就能學習，沒有群聚問題
    而且課程結束後的影片可無限次觀看
    而且有專門的課程群組可以課後提問討論

    如果你在升大一之前想先真正地預習一下大學微積分
    那可以參考我的課程方案
    👉 https://www.changhsumath.cc/precalculus

    7 月 7 日起每周三晚上 6 點上課
    共計十堂課，課程大綱看上面網站

    課程定價 4800 元
    目前還有優惠，但每周一都會回漲 500 元
    直到漲回原價為止

    如果覺得這個課程這樣的價格還是很貴
    可以參考免費自學方案
    在我的頻道有微積分上學期到微分結束的課程影片

    極限篇：https://is.gd/nOHE9D
    連續篇：https://is.gd/KAf0uW
    微分篇：https://is.gd/2wrfhN
    微分應用篇：https://is.gd/XX1aW2

    至於積分前篇和後篇
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    這個自學方案也不錯
    但影片眾多，所以比較難速成

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    想在進大學前掌握考試重點
    我會建議報名我的大一微積分先修課程
    然後我頻道上的影片當擴充內容使用

    大概是這樣

    我知道網路上充斥各種免費微積分學習資源
    如很多大學都有開放式課程
    但我也沒有強迫各位同學一定要參加我的課程
    我只是設計了這樣的課程
    今年也是第二屆
    如果你對我的課程有興趣
    再歡迎報名這個課程

    另外影片中有提到的補充教材
    文章最後這邊補給大家
    👉 https://youtu.be/n0EM2n-PLOE

    還有這個影片的完整版 (指對數的微積分)
    👉 https://youtu.be/goVMCKBNA04

    #張旭微積分
    #大一微積分先修
    #直播互動課程

  • 數學老師張旭

    函數連續證明 在 數學老師張旭 Facebook 的最佳解答

    2020-12-20 20:30:01
    有 3 人按讚

    【搬運計畫：連續篇｜重點四：中間值定理｜精選範例 4-1｜張旭微積分】
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    最近決定開始把 YouTube 頻道上教學影片都搬到臉書來
    以後大概會每天搬一部
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    本範例利用中間值定理來證明勘根定理
    不過這裡的勘根定理和台灣高中數學裡提到的勘根定理不太一樣
    台灣高中數學裡面提到的勘根定理僅限於多項式函數
    但其實勘根定理可以應用在任意連續函數上
    .
    想一次看完所有影片
    歡迎訂閱我的 YouTube 頻道
    連結 👉 https://reurl.cc/5q16Q6
    .
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