為什麼這篇轉動慣量角動量鄉民發文收入到精華區:因為在轉動慣量角動量這個討論話題中,有許多相關的文章在討論,這篇最有參考價值!作者caseypie (吟遊詩人)看板Physics標題Re: [問題] 轉動慣量是張量嗎?時間Th...
轉動慣量角動量 在 海苔熊 Instagram 的最佳解答
2021-09-15 16:49:54
你曾經有那種求助無門的感覺嗎? 並不是沒有人願意幫助你,而是你不知道別人可以怎麼樣幫助你,甚至你也幫不了自己。好像被關在一個牢房裡面,覺得很無助、很黑暗、只能任由自己的情緒反覆發生同樣的狀況,讓自己的人生重複遇到類似的人,可是卻無力停止。 你就像童話故事裡面的灰姑娘,反覆地打掃一個永遠也打掃...
※ 引述《gary85238 (小黃)》之銘言:
: 之前不知道是上哪堂課(或是自己做夢?)
: 好像聽說過轉動慣量是張量
: 有沒有比較普物的方法可以解釋為什麼慣量是張量@@?
回想一下轉動慣量的定義:
若剛體繞某個軸以角速度ω(向量)旋轉,則可以定義E = Iω^2/2,
E為轉動能量,I為轉動慣量
這個定義是任何情況都通用的(只要你能找出這個轉動軸)
但是,如果根據角速度ω1算了一個I1,當情況換成角速度ω2時,又要再算一個I2
若ω1和ω2平行或垂直時還有些定理可用,但是當兩者之間的夾角並非此類特殊關係
則I1和I2之間沒有任何簡單關聯,
換句話說,就是每當換了一個ω,你就得重算一次I
這樣未免也太麻煩
所以我們可以嘗試擴充轉動能量的定義:
假設現在的角速度是ω = (ε, ζ, η),
ε、ζ、η分別是沿x、y、z方向的角速度分量
一個很簡單的想法如下:
我們可以把E改寫為下列通用式:
E = (1/2)(Ix.ε^2 + Iy.ζ^2 + Iz.η^2 )
這樣,只要我們事先算出Ix、Iy、Iz,那就不必每次都重算轉動慣量
只要把角速度取分量再分別相乘就好了
但是這樣的簡單想法有個問題:你怎麼知道這個x、y、z軸要怎麼取?
真實世界裡顯然沒有個固定好的座標系,所以你得自己設座標
結果就是這個簡單想法定義的E並沒有一般性
這時你或許會想到高中教過的:
不同的座標系,直接用矩陣轉換就行啦
原本在xyz座標定義的ω,想要改成在x'y'z'定義的ω'
我們可以定義ω' = Aω,A為轉置矩陣
那麼這樣的E會變成什麼東西?
「假定」,我們「假定」,這個E在某些情況下的確是正確的寫法
什麼情況下呢?就是你「正確地」定義出這個xyz軸的時候
當然啦,通常你不會這麼好運的,所以通常你定義出的東西,是x'y'z'軸
於是我們的能量就可以寫成:
E = (1/2)(Ix.ε^2 + Iy.ζ^2 + Iz.η^2 )
= (1/2)(ω^T.{I}.ω) => {I}是一個對角化矩陣
= (1/2)(ω^T.A^T.A{I}A^T.Aω) => 插入A^T.A = 1
= (1/2)(ω'^T.{I'}.ω')
簡單的說,經由座標變化,我們從原本的ω和{I}的表達式
轉換成了ω'和{I'}的表達式
但是,原本{I}是對角化的3x3矩陣,三個元素分別是Ix、Iy、Iz
現在轉換為{I'},就不一定是對角化矩陣啦
所以我們得知,一般定義的轉動慣量{I'},就是個任意的3x3矩陣,也就是個二秩張量
對於任意的角速度(向量)ω',轉動能量和角動量為:
E = (1/2)(ω'^T.{I'}.ω')
L = {I'}.ω' => 可以看出角動量向量和角速度向量方向未必相同
那麼那個一開始假設的對角化矩陣{I}和對應的ω是什麼東西?
我們可以反過來想:把任意矩陣{I'}對角化成為{I},這是什麼?
不就是本徵值問題(eigenproblem)嗎?
所以這個{I}裡面的Ix、Iy、Iz,就是任意矩陣{I'}的三個本徵值
要計算出這一組{I}所採用的xyz軸,則被稱作principal axis of rotation
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