量子群 (quantum group) 是一個很新的概念, 處於物理和許多數學領域的交界,
不同的領域的人對他有不同的理解, 本文嘗試以表現理論工作者的角度談量子群.
但在談量子群之前, 我們要先知道一點點表現理論在搞什麼

§1. 表現理論的核心問題:
§1.1 表現 (representation)

我常遇到的狀況是, 當我和別人談起我在做表現理論時, 他們會說,
"啊啊 我知道, 群表現嘛"

其實不然. 任給一個[數學結構] X, 我們差不多都可以定義他的 representation,
是一個 map, 把 X 中的元素送到一個矩陣/線性轉換, 並且尊重原有的數學結構

例 1.1: [數學結構] = 群

上面的定義就可以翻譯成:

一個 group representation 就是一個 map f:G → End(V), 滿足:
* G 是一個群
* V 是一個向量空間, End(V) = { T: V → V } 是上面的線性轉換
* f 尊重群的運算, 也就是:
f(gh) = f(g)f(h) for g,h in G,
f(g^-1) = f(g)^-1 for g in G,
f(1_G) = id_V.
換句話說, f 差不多就是一個 group homomorphism - 但是問題是 End(V)
並不是一個群 - 他不保證有反元素.

因此我們需要動點手腳, 把 End(V) 改成可逆的線性轉換 GL(V) 就可以了,
這也就是我們在書上看到的定義.

例 1.2: [數學結構] = 李代數

上面的定義就可以翻譯成:

一個 Lie algebra representation 就是一個 map f:g → End(V), 滿足:
* g 是一個李代數
* V 是一個向量空間, End(V) = { T: V → V } 是上面的線性轉換
* f 尊重李代數的運算, 也就是 Lie bracket [,], 要有
[f(x),f(y)] = f([x,y]) for x,y in g.
同樣的, f 差不多就是個 Lie algebra homomorphism, 這裡 End(V) 也同樣
需要改寫成李代數 GL(V)

§1.2 模 (module)

後來數學家們發現, 一個簡化描述的作法, 就是改以表現 f:X → End(V) 當中
的向量空間 V 為主體, 定義:

對一個 [數學結構] X 來說, X-module V 就是一個向量空間, 上面可以定一個
X-action, 和 representation f 一一對應
x‧v = f(x)(v), x in X, v in V.

這個好處就是定義 submodule (=X-invariant subspace) 比較方便,
也可以定義 simple (或 irreducible) module 就是那些

"除了 0 和本身以外沒有其他 submodule 的 module"

§1.3 表現理論核心問題

對於任一個[數學結構]來說, 我們關心的核心問題就是:

simple modules 要如何分類/構造?

例 1.3 [數學結構] = 對稱群

由 partition - 或是對應的 Young tableau 所刻劃,
可以由純組合的方法從 Young tableau 定出對應的 simple module, 稱 Specht module

例 1.4 [數學結構] = 半單李代數

由 weight 所刻劃, 定義 Verma module 後取其 simple quotient 得出 simple module
但是這個 simple module 的結構不是很清晰, 計算他的 character 是一個大難題,
也就是著名的 Kazhdan-Lusztig 猜想 (1979):

在 半單李代數的 category O 的 principal block 中,
Verma module 中 simple module 出現的次數
= Hecke algebra 基底轉換多項式 (即 KL 多項式) 帶入 q = 1 的值

KL 兩人證明了:

Hecke algebra 中的 canonical/standard basis 與 perverse sheaves/IC complex
一一對應

Kashiwara-Mebkhout 的推廣 Riemann-Hilbert correspondence 告訴我們 perverse
sheaves/IC complex 可以轉換成 regular holonomic D-module 上的重數問題, 最後
Beilinson-Bernstein 和 Brylinski-Kashiwara 分別在 1980 年補上了最後一片拼圖,
把 D-module 的語言換成 Verma module 中 simple module 的重數.

§2 量子群的定義
§2.1 Drinfeld-Jimbo 定義

1986 年, Drinfeld 和 Jimbo 分別在研究 Yang-Baxter equation 時, 發現了一個
特殊的數學結構, Drinfeld 命名為 quantum group, 因為和 quantum integrable
system 有點關係.

後續研究發現, 這個數學結構滿足 Hopf 在 1947 年研究 group cohomology 時, 定義
的 Hopf algebra 的公理. 所以有些人會說

"量子群就是擁有像是 Lie group 一樣的結構的 Hopf algebra"

但是這個說法有點籠統, 從另一個角度切入, 我們知道李代數的 universal enveloping
algebra U(g) 是一個 Hopf algebra, Drinfeld 和 Jimbo 的定義, 差不多就是把李代
數的 Chevalley & Serre relations 挑適當的位置加個變數 q, 所以另外一些人的說法
就是

"量子群就是李代數的 quantized enveloping algebra"
(或是說 U(g) 的 q-deformation)

但是這個定義只告訴我們量子群的 presentation -
只知道 presentation 對數學家來說不是很滿意.
比方說, 對稱群 Sn 有個 presentation

Sn = < s_i | i = 1,..., n-1>/
* s_i^2 = 1,
* s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1} for i = 1,...,n-2,
* s_i s_j = s_j s_i if |i-j|>1.

只看這個我們只會看得霧沙沙, 但是如果你把 Sn 看作 {1,...,n} 上的置換,
s_i 對應的就是把 i 和 i+1 交換, 那就會明瞭得多.

§2.2 Ringle-Hall algebra 定義

1990年, Ringle 做出了第一步的嘗試, 他觀察到量子群有三角分解, 他只需要處理
量子群的正部就可以把整個量子群生出來:

Ringle 從一個 quiver Q 出發 (即沒有 loop 的有向圖), 在上面定 representation:
* 對於每個 Q 上的點 i, 賦予一個向量空間 V_i,
* 對於每個 Q 上的邊 i→j, 賦予一個線性轉換 V_i → V_j.

simple module Si 就是在點 i 上給一個 1維空間, 其他全部放 0.

而 所有 nilpotent quiver representations 形成一個很好的 category C, 既
abelian 又 hereditary, 可以定 Hall algebra

H = free C-module with basis { [M] : C 中同構 module 的等價類 }

Hall algebra 上的乘法, 可以由 Euler form 和 Hall number 所決定,
差不多是一些同調代數算出來的東西, 像是有多少個長的像什麼樣的
short exact sequence; Ext(M,N) 的 alternating sum... 之類的.

總之, Ringle 證明了當 quiver 是 Dynkin diagram of type ADE 時,
正部量子群和 Hall algebra 同構.

§2.3 Beilinson-Lusztig-MacPherson 定義

同一時間, 1990 年 Beilinson-Lusztig-MacPherson 使用 partial flag
variety 的幾何給出了 type A 量子群的幾何構造:

1. 定義 F = { n階 filtration V1 ∠ V2 ∠ ... ∠ Vn = V },
GL(V) 在 F x F 上有自然的 action, 這個 action 的 orbits 可以由
一個特殊的 n by n matrices 的子集所刻劃.

第一個想法是模仿人們從對稱群構造他的 q-analog, 即 Hecke algebra
的作法: 對於任兩個 orbits O, O' 定義

O * O' = Σ c_{O,O',O"} O",
O"

其中 c_{O,O',O"} = #{f|(f1,f) in O, (f,f2) in O' for (f1,f2) in O"}.
但是這個定義會出問題, 有些 c_{O,O',O"} 會是無限大

2. 他們的作法如下, 先固定矩陣元素的和 d, 用上述方法定一個 algebra S(n,d),
即 Schur algebra, 在 S(n,d) 上算乘法係數是多少, 最後用個 stabilization
procedure 定出 BLM algebra K,

因為 Schur algebra 上有自然的 monomial/canonical basis, BLM algebra K 上
也有對應的 monomial/canonical basis, 取 basis 的一部分生成一個 algebra U,
可以證明 U 同構於 type A 量子群.

3.
幾何作法有另一個好處, 因為乘法係數是數 orbits 數出來的, 因此這些係數必定
是正的, 這也是目前唯一知道的, 證明係數為正的方法.

而 canonical basis 的存在, 和這種正係數的幾何構造, 對範疇化有深遠的影響(!)
2010 年, Khovanov 和 Lauda 受惠於此, categorify 了 quantum sl_2,
後續工作如雨後春筍般冒出來, 成為表現理論當紅的主題.

§3 量子群的應用
§3.1 KL theory

Jimbo 1986 年的工作還有第二部分: Jimbo duality

在古典理論當中有個 Schur-Weyl duality, 敘述 GL(V) 和對稱群在 tensor space
上的作用交換, 並且互相生成 centralizing algebras. 再套用結合代數的定理,
我們便知道所有對稱群的 simpe module, 都可以從某個 tensor space 拆解而來.

那, 我們知道量子群是 GL(V) 的 q-analog, 另一邊, 對稱群的 q-analog 是 Hecke
algebra of type A, 自然的會想說, 上述 Schur-Weyl duality 會不會有個
q-analog 呢?

答案是肯定的, 這就是所謂的 Jimbo duality of type A.

既然有了 type A, 那其他 classical types 也會對吧?
人們就想說, 我們把量子群 Uq(GL(V)) 換成其他的 Lie group 的 q-analog 看看,
的確可以做出一些 duality, 但是另一邊就不再是 Hecke algebra 了, 用途目前還
看不出來.

另一個想法是, 如果我們堅持一邊是 Hecke algebra, 會做出什麼東西?
要知道, KL theory 的精神就是 Heckee algebra 兩組基底的轉換, 因此, duality
應該是為了 KL theory 的基底變換而存在.

王偉強和鮑渙辰在 2013 年對 finite type B/C 得出了答案, 和 Hecke algebra
of type B 成對的是 type A 量子群 U 的一個 subalgebra U^i, 這個 subalgebra
不是一個 Hopf algebra, 因此由第一個定義不被認為是一個量子群.

但是 U^i 是一個 coideal subalgebra, 和 U 組成一個 quantum symmetric pair.
並且, U 和 U^i 間的 Jimbo duality 可以讓我們作基底轉換, 進而:

(1) 重新詮釋古典李代數的 KL theory
(2) 首度解決 ortho-sympletic 李超代數的 KL theory

§3.2 模表示(modular representation)

當量子群的變數 q 是個 root of pth unity 時, 量子群的表現理論,
和 over field of characteristic p 的李代數表現理論很有關係.

李代數的模表示是一個非常難的主題, 上面的 KL theory, 也被稱為 Lusztig 猜想,
宣稱 p 要足夠大的時候才會對. 但是這個"足夠大"是要多大?

Fiebig 在 2013 年給出了一套算法計算這個足夠大要多大, 他師兄 Williamson,
就是給出 KL theory 代數證明的那個人, 在 2013 也證明了這個界限不會是多項式,
簡單的說, *足夠大真的要很大*.

數學家相信, 量子群的表現理論能對模表現有一些幫助, 但是究竟如何, 還待我們努力

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「我們愛星星至深無懼於黑暗。」

"We have loved the stars too fondly to be fearful of the night."

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