※ 引述《waterworld0 ()》之銘言：
: 假設T是線性變換 且 T : V → V`
: β是 V的一組有序基底 γ是 V`的一組有序基底
: dim(V) = n, dim(V`) = m
: β = {b1, b2, ... , bn}
: γ = {b1`, b2`, ... bn`}
: γ
: 則 for all v 屬於 V [T(v)]γ = [T] [v]
: β β
: 這是一個關於linear transformation的座標轉換定理
: 這個定理我明白他的敘述 也會證明 可是似乎不太了解他所隱含的意義在哪裡
: 也就是一般的直觀意義 可否請了解這個定理的高手 給我一點指引呢? 感激不盡
: P.S. 因為我覺得 感覺上 如果本來以β為基底的向量 透過轉換矩陣轉成以γ為基底的話
: 為何不是直接變成 [v]γ 呢? 拜託高手給我點指示吧<(_ _)>

γ
[T] 是關於線性變換 T 對雙基 (β,γ) 的矩陣
β


這定理只是說:
從一個有限維空間到另一個有限維空間的線性變換, 可以
用矩陣運算來表示.

先前有人問到矩陣乘法的意義, 我就提到學到線性變換的
相關內容時, 就能體會矩陣乘法那樣定義的必要性.

本來 T 只是從 V 到 V` 的一個函數對應關係. 因為 V,
V` 都是抽象的向量空間, 並沒有像一般實變數實值函數,
以一個公式來表現.

但 T 是線性變換, 因此只要在 V 的基底把對應關係定義
明確, 這個線性變換就確定了! 因此, 我們不必煩惱在 V
中通常有無窮多個元素要一一指定對應到 V` 的方式. 若
dim(V)=n, 則只要 n 個對應規則就搞定了.

座標化讓線性變換的對應更清楚. 在 V, V`各取有序基底
β與γ, 則兩向量空間中的向量各自可以對應到一個行矩
陣(行向量), 並且線性變換 T 在這雙基之下,可以用矩陣
乘法表示. 這就是這定理所表達的.


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