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香港學生面對的壓力實在比我們想像得還要大,他們每周面對沉重的功課壓力、頻密的默書測驗考試,我們除了著重他們的學業表現外,也需要關注他們的心理壓力和需要,關心他們在學業背後的理想和成績以外的成長。希望這首歌曲能夠唱出學生們的壓力,為他們打氣之餘,引發家長、老師、兒童工作者及社會對學生們壓力的關心。
歌詞:A:英文生字我要串多次 若我只有三分鐘堅持 難道合格亦是難事?
B:中文生字我要記多次 若記憶似高分的鎖匙 腦袋用作背誦記事
A:我天生貪玩好動開朗與大意 我不懂思考文學的意義
B:你都知分數背後裝載了含義 要努力競爭名次
*A:溫書考試為績分 B:落力為了高分
A:難題嫌沉悶眼訓 B:眼訓你也要撫心自問
合:為前路理想追尋 B:讀書當然很要緊
A:怎麼可以拿高分 B:落敗亦別要傷心
A:連忙背全部教訓 B:我課本有太多的學問
合:考試週快將光臨 B:望你交出勇敢
合:一起溫書似特訓*
老師:各位同學 星期二記住要默書 如果唔合格你就冇得放Lunch
默書範圍係工作紙上面既English 大家冇問題就放學番屋企溫書
A:唉 我最怕係要坐定定溫習 我覺得同本書唔係幾夾
想溫習但係內容太複雜 背極個腦仲係一片空白
其實我心底都知 我都想分數高D 但係要成績進步唔係咁Easy
過去式要加ed 現在式要加s 我呢家終於知道乜野叫 Difficulty
B:Yeah 數學公式你記得嗎 常識科印象要深化
若要溫書你不可放假 但別要放棄讀書好嗎?
老師:老師都知大家平日讀書好辛苦 但係係社會入面知識就係寶庫
如果有學習既機會請你珍惜愛護 希望你目標不再迷糊
repeat *
數學公式你記得嗎 常識科印象要深化
若要溫書你不可放假 但別要放棄讀書好嗎?x2
(我終於記得長乘闊等於面積 仲有香港七十年代既軌跡
我點樣計蕉、橙、蘋果既價值 底乘高除2等於三角形面積
仲有中國當時派邊個出使西域 ~~~~)
*A:怎麼需斷定績分 B:為學問定要堅忍
A:如何能勤力振奮 B:我腦裡只有公式月份
合:失半分也都消沉 如分數是我身份
A:怎麼想我拿高分 B:若學問是太艱深
A:連忙背全部教訓 B:我課本有太多的學問
合:考試週快將光臨 B:望你交出勇敢
合:一起溫書似特訓*
等邊三角形面積公式 在 數學老師張旭 Facebook 的精選貼文
【為什麼學微積分要先學極限?】
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微積分是一門關於微分與積分的學問,微分是探究瞬間變化程度的學問,積分是探究一範圍內累積量值的學問。例如一運動物體在某時間點的位置瞬時變化率(瞬時速度),那就需要微分;又例如計算一區域在地圖上的面積,那就需要積分。當然如果前面提到的運動物體是等速度運動,又或者在地圖上的區域其形狀恰好是三角形或矩形,那就可以用基本數學公式得到運動物體的瞬時速度和區域面積;但是,一般而言,運動物體不會是等速度運動,而地圖上的區域大多是不規則的,因此,微分和積分的技術就成了解決這類問題的關鍵。
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不過,既然是要學「微分」和「積分」,那關「極限」什麼事呢?是這樣的,在有微積分以前,人類是沒有公式來處理不規則變速運動的物體的瞬時速度,也沒有公式來計算不規則圖形的區域面積。面對這樣的問題,我們只能從過去的經驗和既有的公式來思索,看看是否可以透過一定程度的調整來解決問題。
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就瞬時速度而言,我們所希望的是能夠計算出一運動物體在某一個時間點的瞬時速度,也就是在某一時間點的位置變化率。你可以試想,一個正在用不規律速度行駛的車子,他前進的速度本來就會有時快、有時慢,那麼,我們是否有能力將這個車子在每一個時間點的速度都賦予一個量值呢?如果這個量值越大,就代表速度越快,反之代表速度越慢?這乍聽下來好像可行,但在還沒有微積分的時代裡,若再進一步細想下去,就會覺得很怪。因為要計算一運動物體的速度,就需要該運動物體在「兩個時間點」的位置;然而,瞬時速度只關心運動物體在「一個時間點」的狀態。也就是說,實作上在求瞬時速度的時候,會遇到一個難題,那就是只有一個時間的位置,所以無法求速度。
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為了解決這個問題,我們退而求其次地,在所關心的時間點以外,物體運動的時間範圍內,離所關心的時間點附近再取一個時間點,然後用這兩個時間點的速度,來「暫時」取代該物體瞬時速度。之所以用「暫時」這兩個字,顯而易見地,就是這個量值一般而言並不應該就是我們要的瞬時速度,因為只要多取出來的時間點不一樣,就很容易算出不一樣的值。但這個辦法並非沒用,而是在微積分還沒開始發展的那個時代裡,我們必須引進一個新的概念,那就是「極限」。
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既然在所關心的時間點外在取一個時間點來算的速度並無法做為瞬時速度,那麼如果把另外取的時間點無限逼近所關心的時間點呢?這是一個相當好的想法,雖然可能還有很多細節需要處理,但基本上這個逼近的動作,已經解決了算瞬時速度的問題,這是因為直觀上不管大家一開始所取得的所關心的時間點以外的時間點有多不一樣,都會因為做了「逼近」這個動作而使最後的所得到的結果一樣(當然這必須證明「逼近」這個動作最後算出來的答案是唯一的,而這部分確實後來的數學家有順利解決,我們在此暫不討論,也許以後有機會再專門寫一篇關於這主題的文章)。
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因此,後來我們就用這個方案來算運動物體在某一時間點的瞬時速度,而這個方案裡面的計算方式,在經過數學家們的檢驗和嚴格化以後,就發展成了日後我們講的微分,而該計算方式裡面所提出的「逼近」的概念,其動作最後也就是我們講的「取極限」,所以為什麼在學微分之前要先學極限?因為微分這個動作,其本質就是取極限的過程。
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積分也有類似的過程,為了算不規則的區域面積,我們先把這個區域分割成很多個可用簡單公式計算的矩形(邊界的地方可以自訂一個規則超過一點或縮小一點),然後先用這些矩形的面積總和「暫時」代替原本要求的區域面積;但很顯而易見地,這些矩形面積和並非原本要求的區域面積,所以我們就把這些矩形分割得越來越細,只要這些矩形能夠分割得越細,他們的面積總和就會和原本要求的區域面積越來越接近,姑且不論其實作的細節,這個透過無限分割使矩形面積和逼近原本要求的區域面積的過程,也用到了「極限」的概念。
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所以如果你打開微積分的課本,卻在一開始看見要學一整章的「極限」時,請不要意外,因為學數學就像蓋一棟樓一樣,你或許期待微積分這棟樓能建得高大,但別忘了凡是越高大的大樓就需要越強健的地基,而「極限」就是微積分這棟大樓的「地基」。把極限學好,後面才有足夠的內力和體質去學習和發揮微分和積分這兩大絕學。
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而要學習極限,雖然有一段路要走,但凡事都可以先從最簡單的內容開始。我在 2020 年時拍攝了微積分的系列教學影片,如果想從零開始學習微積分的話,可以先從我的極限篇裡面的第一部影片「極限的直觀定義」開始看起,我把這部影片的連結貼在下面留言處。
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這系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材,近期我會開始陸續上傳到這裡,但不是每一部影片都會寫文章來搭配,所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看,而且不漏掉系列裡每一部影片的話,可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道;如果你想一次看完我全系列的影片的話,可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道,上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用,如果你想要取得該電子檔的話,請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章,並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論,然後私訊我的臉書粉專,我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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一位令歐美科學界敬仰的「南宋惡人」
歷史春秋網
作者:滄海明月生
桃花影落飛神劍,碧海潮生按玉簫。
這是《射鵰英雄傳》裡桃花島主黃藥師的武功寫照,除了出神入化的武功,這位狂傲的宗師對天文地理、五行八卦、奇門遁甲、琴棋書畫甚至農田水利都無一不精,堪稱複合型的學霸。
《神雕英雄傳》是金庸的成名作,以南宋、蒙古、金國三方勢力的角逐作為歷史背景。小說中黃藥師的出場,大約處於南宋的第四位皇帝宋寧宗當政時期。
巧合的是,這一時期的歷史裡也有一位多才多藝的學霸橫空出世。他弓劍嫻熟、精於星象音律、算術詩詞及建築營造。更為契合的是,黃藥師被視為亦正亦邪的狂士,這位學霸也一度被世人認定是劣跡斑斑的惡人,但在幾百年後卻被大洋彼岸的科學界集體敬仰。
一樣的天縱英才,一樣的毀譽參半。除了沒有一個冰雪聰明的女兒,這位學霸幾乎可以視作小說裡黃藥師的原型。
他就是南宋著名的數學家秦九韶,一位被聲名耽誤的天才。
一、英武少年
秦九韶是四川安岳人,他出身官宦世家,父親秦季棲是進士出身。公元1219年,主政巴中的秦季棲遭遇了軍士嘩變,一介書生的他只得攜家小棄城逃走。歷經數年的輾轉後,秦季棲到了都城臨安,朝廷不僅沒有治罪反而將他提拔為潼川知府,並命他舉家重返四川。
秦九韶的傳奇,就是從這時開始的,那一年他18歲,正值熱血沸騰的年紀。
此時的南宋,在西北一帶同時防範蒙古與金國兩方強敵。在蒙古的快馬彎刀之下,陝西、甘肅大部已被突破。潼川由於地形險峻被視作戰略要地,為此朝廷特意從西南募集了幾千名精壯的民兵,戰時隨軍禦敵,閒時作為民夫修建工事。這支民間武裝的首領,就是年輕的秦九韶。
能統領這樣一支隊伍,秦九韶絕對是有兩把刷子的。他生性聰慧好學,少年時就研習了大量的天文曆法典籍,又潛心學習土木工程,這些都轉化成了他安身立命的技能,手下的軍士對此都心服口服。
秦九韶是典型的別人家的孩子。他不僅理論知識過硬,軍事素質也相當優秀,他的馬術、騎射、劍術玩兒得非常溜,以致於當時的人們都以豔羨的語氣評價他:「遊戲、毬、馬、弓、劍,莫不能知」。
公元1236年,蒙古大軍攻入成都,四川的大部分州府都遭淪陷。此前的一系列戰鬥中,秦九韶展現出了職業軍人的素養,時常冒著箭雨指揮自若,就如他後來追憶的那樣:「歷歲遙寒,不自意全在失石間」。
如果人生照著這樣的軌跡前行,投身軍營的秦九韶多半會落得為國捐軀的結局。然而隨著從戰場調離到地方,秦九韶最終在數學領域突放異彩。
二、數學天才
在四川任職期間,秦九韶就已經展現出了數學方面非凡的天賦。
《郪縣誌》記載了這樣一則故事:公元1231年6月,郪江沿岸暴雨成災,當地一處名為核桃壩的地方,有兩個農夫為洪水沖毀的田界發生爭執。經過現場勘驗後,秦九韶發現各自為三角形合在一起的「三斜田塊」,被洪水沖成了不規則的田地。於是,他運用豐富的幾何知識,算出了田地的面積,再將其等分劃出了令兩人都滿意的邊界。
除此之外,民間還留下了諸多秦九韶的傑作,譬如杭州西溪有一座「道古橋」,就是由他設計修建的。對於秦九韶而言,這些不過是牛刀小試而已,真正令他揚名天下的,是一部名為《數書九章》的奇書。
公元1244年,在南京任通判的秦九韶,因母親去世回鄉守孝三年。遠離了政治紛擾的他,在研究曆法時發現年份越遠,曆法的誤差也越大,其根源就在於算術不夠精準。為此,他用三年的時間,完成了二十多萬字的《數書九章》,一經問世便引起了轟動。
即便是幾百年後的今天,這本《數書九章》裡蘊含的知識,也足以令學渣們抓狂。
比如書中的「三斜求積術」就是已知三角形的三條邊長,求三角形的面積,沒點兒幾何知識真還無從下手。令人驚嘆的是,秦九韶總結出的公式,與當代課本上的算法幾乎一致。而且他提出的配分比例和連鎖比例的命題,至今還有很強的現實意義。
《數書九章》共有9個門類,囊括天時、田域、測試、賦役、軍旅等與社會生活相關的內容。9類中又提出了9個問題,共計81道數學題,秦九韶在書中不止提出了問題,又精心地講述瞭解題原理和步驟,在給出答案的同時還有思路延伸。
如果南宋的科舉考試有數學的話,這本《數學九章》絕對是賣得脫銷的熱門書籍,可能連小朋友都人手一本,相當於當代的「奧數」。
《數書九章》裡的內容,涵蓋了如今初中甚至大學裡的數學課程。除了小數、複數、還有最小公倍數、代數運算,高次方程等。
這部著作代表了中世紀世界數學發展的最高水平,其中的「大衍求一術」領先西方數學家高斯554年,「正負開方術」比英國數學家霍納的解法早了572年。現代的數學家梁宗巨曾經這樣評價《數書九章》:「那時歐洲漫長的黑夜猶未結束,中國人的創造卻像旭日一般在東方發出萬丈光芒。」
三、毀譽參半
公元1248年,聲名遠播的秦九韶被宋理宗召見並得到了賞識,而他也由此成為中國歷史上第一位被被皇帝召見的數學家。
此後的秦九韶被提拔在江南一帶任肥缺,聲色犬馬的熏染使得他逐漸在官場中迷失了自我,變身為同僚們口誅筆伐的大惡人。
秦九韶早年還是文學青年,寫得一手好詞,因此與南宋晚期的詞家劉克莊相識。劉克莊的詞風豪放,充滿了愛國主義情懷,但在秦九韶成名以後,卻遭到了劉克莊的猛烈抨擊。
經過這位文壇大咖的宣傳,秦九韶為人不仁、不義、不孝、不廉」,甚至後來社會輿論還對他進行了人身攻擊,說他’暴如虎狼、毒如蛇蠍、非復人類」。更離奇的如「多蓄毒藥,如所不喜者,必遭其毒手」。
在諸多文字的渲染下,秦九韶的惡名似乎是被實錘了。
在這些記載裡,秦九韶橫行鄉里魚肉百姓,多次被取消任命;他利用自己在數學領域的特長攫取了上司的田產;更勁爆的是,秦九韶命屬下殺死親兒子,為此還精心地設計了毒殺、溺死、用劍自裁的三種方案。
趕上這樣蛇蠍心腸的老爹,手下人覺得太變態了就沒下手,私放了他兒子,秦九韶得知後竟巨額懸賞追殺。
從秦九韶的仕途經歷來看,他精於算計醉心官場權鬥,絕不是個善茬,但抹黑他的劉克莊也不是道德模範。南宋的政壇一直分為主戰派和主和派,秦九韶與樞密使吳潛交情深厚,主張武力抵禦蒙古,在詞裡高唱愛國的劉克莊卻依附權臣賈似道,積極沖當詆毀主戰派的鼓吹手。
四、死後哀榮
公元1268年,被貶至廣東梅州的秦九韶淒惶離世。由於生前遭遇的輿論攻擊太多,秦九韶死後,《宋史》和所有的地方志都沒有為他立傳,就連現在的學術界也將他視作有道德污點的天才。
從某種意義上說,秦九韶的悲劇也是南宋朝廷悲劇的縮影,如果因為黨派因為政見不合就置國運於不顧相互攻擊,那麼亡國之禍也為時不遠。
秦九韶死後的第八年,南宋滅亡。
令人唏噓的是,沒有被中國古代主流價值觀認可的秦九韶,在西方科學家的眼中卻得到了前所未有的尊敬。德國著名的數學史家康托爾稱讚他是「最幸運的天才」,美國著名的科學史家薩頓認為」秦九韶是他所在的民族,他那個時代,最偉大的數學家之一」。
時光荏苒,如今的安岳縣為秦九韶修建了紀念館。這位曠世奇才在幾百年後,終於以光輝正面的形象被世人銘記。
(本文由「歷史春秋網」授權「知史」轉載繁體字版,特此鳴謝。)
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【媽媽經時間】孩子「主動學」與「痛恨學」,只在爸媽一念間!
我是個數學不太好的人,高中文組,聯考數學還以致命性的低分,拖垮整個志願選填。
但是,國小時,老師曾經認為我是資優生,還上過學校的資優班呢!當時我娘親帶我去一個天才衛老師的工作室,學邏輯數學,每次去,不是背公式、解題秘訣,而是從數學棒(兒子照片玩的)、圖形、排列…學習邏輯推演,跟校內課業看似關聯不大,每次去都好開心。
到了國中,數學也沒有太爛,但是不同以往的是,爸媽送我進入一個升學補習班,沒再去找衛老師,這間所謂「保證學子數學超高分」的補習班,老師上課強調的是各種解題秘訣、自創數學公式、反正你不用理解公式怎麼來的,“背”就有分了;也不用理解邏輯因果,看到什麼題型就套什麼解法……少一分,還用後木板打一下,去補習班,是每日的惡夢。
我開始抗拒數學,甚至高中後,覺得自己完全看不懂數學課本。放棄了一個章節、兩個章節…一個學期、兩個學期……我喪失的,不只是數學知識,而是學習熱忱。
最近兒子因為準備入小學,開始喜歡把數字加法掛嘴邊,看他好像喜歡數字,就帶他去我學生媽咪推薦的一間連鎖邏輯數學班,學的不是硬背九九乘法,而是理解乘法怎麼來;玩中學,他每天一回家,就主動要我陪他做數學功課。
這周玩什麼呢?一張色紙,用不同方法等分成1/4,孩子練習想方法、折紙、剪折線、思考為什麼小四方形,其實與三角形一樣大?
為什麼形狀不同,面積一樣呢?
於是挑戰如何把直角三角形剪一刀,變成長方形…解題中,孩子樂此不疲。
陪他學習時,覺得這感覺好熟悉…
查了網站,才知道思達數學,是我以前學習的衛老師拓展的。他真的天才,把自己熱愛的數學,邏輯系統化成教材、教育訓練體系。我很感動,無形之中,好像我對數學的遺憾,有了解答,那就是孩子,我們一起重新來過。
身為媽媽,可以跟孩子一起學習,找尋熱忱,是最幸福的了。我也用過去經驗,要提醒自己:
👑「成績不是重點,重點是理解與學習了什麼」👑
我們被填鴨長大的這一代,念書時都把自己變成考試機、背多分,到了職場後,才發現自己沒有思考與決策推演的能力。
無法推演、就很難創新,這都來自錯誤的學習方式。
背公式,可以讓你考試高分,卻無法讓你變成,具備成為發明公式能力的人。
即時現在我在教健身學科時,多數學生,也是沒有學習後加以應用的能力…那麼,即使學習了,少了思考,對人生的拓展也少了……
很謝謝兒子一直在教我許多事♡