為什麼這篇積分面積鄉民發文收入到精華區：因為在積分面積這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者PaulErdos (My brain is open)看板Math標題Re: [微積] 積分面...
積分面積 在 連晨翔©Simon Instagram 的精選貼文
2021-09-15 16:01:30
我從小最怕也最愛爸爸。 他數學很好從國小算面積到大學微積分都是他教我的，我當時除了崇拜外也覺得到底要會這些幹麻？我長大後買菜也不會用到這些啊？ 長大後才發現就是因爲會這些才讓小孩那麽崇拜他（筆記） 出社會後不論外面的世界發生了什麼，回到家看到坐在客廳的爸爸，就覺得安心與溫暖。偶像爸爸我愛你💜 也祝全...
※ 引述《Arim (Arim5566)》之銘言：
: 各位好
: 小弟最近看到一本書上面寫
: sin(x)從0積到2PI的值為0(看到圍起來的面積就覺得不可能是0阿...)
: 理由是在PI到2PI之間面積為負
: 且與0到PI之間的面積對稱
: 所以相加為0(2+(-2)=0)
: 但是看到另外一本書上面寫的是面積不能夠為負
: 所以針對這個例子要分成兩個積分(0到PI、PI到2PI)
: 其中PI到2PI要把sin(x)的積分寫成-sin(x)的積分(使得面積為正)
: 由於定積分本來就是要求函數底下的面積
: 所以我對第一種說法(面積為負)感到很懷疑
: 請問是第一種說法寫錯嗎?
: 謝謝
積分的時候, 我們是在求"曲線下面積"
講得更完整是"曲線下x軸之上的面積"
因此我們切割、取樣、求和的時候
那些長方形都是 f(x )‧Δx
i i
寬是Δx 高是f(x )
i i
寬自然會是正的, 而那些函數值卻可能是負的
那麼乘起來以後便是有號面積
當它在x軸上方就是正的面積 , 下方就是負的面積
你可以這樣想
"曲線下"的面積嘛! 那麼當函數是負值的時候, 那一塊實質上是在曲線上方
所以我就說那一塊"曲線下面積"是負的
有號面積跟我們一般所理解的面積不太一樣
才會導致你覺得奇怪 為什麼那一塊面積居然會是零
幹嘛要搞個什麼有號面積呢
舉個例子
快考試了 你今天一整天待在書桌唸書
E(t) 是效率函數, 代表你在時間t時的唸書效率
效率乘以時間就是你的唸書總成效
但你的唸書效率高高低低的, 所以我們就做 ∫E(t)dt 就是你今天的唸書總成效
你一開始還在撞牆期, 所以E(t)的值一直不高
到後來終於有點感覺了! 知道這章節在幹嘛 於是 E(t) 變高
後來你去吃飯 , 邊吃飯邊唸書對胃不好 所以你就沒這麼做啦
所以這段時間E(t)就是零啦
那剛吃完呢, 因為你吃得很撐, 所以又有一段時間 E(t) 很低
接著你受不了啦 肚子那麼撐還唸書
於是你就打開遊戲來玩
你玩的是大富翁4 裡面的股票都亂買
連帶地影響你剛剛所唸的投資學 , 正確觀念都給搞混了
所以呢, 這段時間的E(t)不是零, 而是負的!
這段時間對你今天的唸書生活來說 就是來扯後腿的
所以我們如果要計算一整天下來的 ∫E(t)dt
就不應詮釋成 " E(t) 這條曲線與t軸所包圍的面積 "
應該是 " E(t) 這條曲線 的有號面積 "
因為有幾段時間的唸書對唸書成效是正向貢獻的 而有些時間是扯後腿的
所以"面積"也應該是有正有負 會稍微互消一下
由此可見 有號面積 才會符合我們把 E(t) 積起來的想法
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