為什麼這篇瞬時速度公式鄉民發文收入到精華區：因為在瞬時速度公式這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者cloudwolf (狼)看板Physics標題Re: [問題] 瞬時速度方向固定？時間Thu ...
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2021-04-19 04:27:05
補習班日常 1.每次補習班冷氣很冷 我都會用手去冰阿珍 阿珍：「挖妳怎麼這麼冰啦。」 我：「(⁎⁍̴̛ᴗ⁍̴̛⁎)沒辦法我冰雪聰明。」 阿珍：「.........」 我：「冰山美人。」 阿珍「.........」 我：「一片冰心在玉壺。」 阿珍：「停止，謝謝。」 2. 有一次她抓我...
※ 引述《mantour (朱子)》之銘言：
: ※ 引述《crazyjonas ()》之銘言：
: : 今天有學生問我，瞬時的情況下，
: : 由於來不及轉彎，只能走直線，所以位移大小等於路徑長，
: : 那如果將許多的瞬時加總，每一段瞬時都只能走直線，那轉彎到底是如何發生的呢？
: : 似乎有點矛盾？
: : 後來我想或許是與運動獨立性有關，
: : 或許可以將弧線軌跡以互垂直的兩基底來分解，兩基底的向量在瞬時中還是各走直線？
: : 想請問版上高手的看法，謝謝
: : ----
: : Sent from BePTT on my Samsung SM-A5260
: 考慮一個圓周運動
: 在圓內畫出內接正n邊形
: 當n很大時, 正n邊形的邊長 a_n , 會越來越接近兩個頂點之間的弧長 2piR/n
: 也就是當 n 很大時, a_n - 2piR/n 趨近於 0 ........ (1)
: 不但如此, 如果把所有邊長加起來時, 內接正n邊形的周長,也會越來越接近圓周長
: 也就是當n很大時, n*a_n - 2piR 還是趨近於 0 ....... (2)
用正n邊形的周長去趨近圓周長時，
不只看內接正n邊形，還要看外切正n邊形吧
正確的條件應該是
n*a外切_n - n*a內接_n 趨近於 0
: 在計算曲線的長度時, 我們說可以把曲線當作很多小段直線去算
: 要能這樣算, 只滿足 (1) 是不夠的, 因為每一小段的誤差會累加起來,
: 即使每一小段的誤差都非常小, 很多小段累積起來也可能變成很大的誤差
: 必須要滿足(2), 才能保證很多片段加起來, 誤差還是小到可以忽略
如果L=-(a_n - 2piR/n)趨近於0
則在N有限的情形下N*L還是趨近於0
也就是說，取一個足夠大但有限的n使得公式(1)成立時，
公式(2)必然也會成立。
當n為無窮大時，L就會變成無窮小的數並使得公式(1)成立。
這時公式(2)變成一個無窮大乘以無窮小的結果。
而其結果視兩個數的階比較會有無窮小、常數、無窮大三種。
以公式(2)的情形，其結果為無窮小，也趨近於0的數。
也就是說，無論如何當公式(1)成立時，公式(2)必然成立。
既然沒有公式(1)成立而公式(2)不成立的情形。
只要考慮是否滿足公式(1)或公式(2)其中之一就好，不用去檢查另一個是否滿足。
: 現在換一個問題
: 我要計算的如果是沿著正多邊形走一圈, 面朝方向旋轉的角度
: 沿著正多邊形的邊長走, 到頂點才轉彎, 每次轉彎的度數是 2pi/n
: 當n很大時, 2pi/n 會趨近於 0 ......(3)
: 那我可不可以說, 因為每次幾乎都沒有轉, 所以全部加起來也沒有轉呢?
: 答案是不行. 因為你知道不管n多大, 每個頂點轉的角度全部加起來會是
: n* 2pi/n = 2pi ......(4)
: 也就是不管你分多細, 繞一圈的角度加起來還是等於2pi.
: 也就是說
: "n很大時 邊長 - 弧長 的誤差趨近於0"
: 跟
: "n很大時 每次轉彎的角度趨近於0"
: 這兩種誤差 "趨近於0" 是有本質上的不同.
: 具體來說:
: 第一種誤差是 誤差乘以 n 之後 還是會趨近於0
: 第二種誤差是 誤差乘以 n 之後 就不趨近於0了
不論n大不大，2pi/n都不是誤差吧!!
pi=180度
n=3時，2pi/n=120度
n=4時，2pi/n=90度
n=5時，2pi/n=72度
n=6時，2pi/n=60度
n=7時，2pi/n=51.428571.............度
n=36000時，2pi/n=0.01度
: 並不是只要 n很大時 , 誤差會趨近於0 , 就代表這樣的誤差都可以忽略
: 當你需要把很多小段加起來算總和的時候, 只有第一種誤差可以忽略, 第二種不能忽略
: 而直線和弧線的差別, 可不可以忽略, 要看你要算的是什麼,
: 要算路徑長度或速度時可以忽略, 但是要算沿著路徑轉彎的角度時, 誤差就不能忽略.
不是所有很小的數都是誤差好嗎
既然正n邊形的每個頂點旋轉的角度不是誤差(無論角度多小)。
自然沒有可不可以忽略的問題。
還有要先搞清楚是數學理論上產生的誤差，還是數值計算上產生的誤差。
這兩者是有差別的。
基本上瞬時速度還是速度的一種，
高中物理課本中的速度V公式常寫作 V=S/T 常翻譯為"速度 = 位移 除以 時間"
但嚴格說起來，應該寫作V=S/(delta_t)，
翻譯為"速度 = 位移 除以 時間變化量"，而位移S是位置變化量。
原PO的問題是，把計算上或圖示上的方便跟物理上的意義搞混在一起。
就算是"瞬時"其實也是"一段區間"。
當區間與區間的速度方向發生改變時，自然就會出現"轉彎"。
而會產生這樣的疑問，是因為1.高中物理上常常沒把t跟delta_t分清楚
2.極限limit的概念放在數學課本
所以，如果學生啥都不想，老師怎麼做就依樣畫葫蘆，不會產生疑問。
學生想得很仔細，把1.跟2.都搞懂，不會產生疑問。
但如果，老師講解不夠仔細，學生又會想，那就可能會產生疑問了。
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山巔一寺一壺酒 嶁頂六萼六林柳
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.254.20.40 (臺灣)
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※ 編輯: cloudwolf (111.254.20.40 臺灣), 09/30/2021 08:49:46
推 Roshiel: 好奇原原PO是高中還是國中老師 09/30 14:57
→ mantour: 用“誤差”的確是我用辭不精確 09/30 15:09
→ mantour: 我想表達的是o(1/n)跟o(1/n^2)的差異，也就是無窮小量的 09/30 15:10
→ mantour: order 09/30 15:10
推 Vulpix: 大O吧，小o的概念很像但不一樣。 09/30 20:32
→ mantour: 謝謝V大指正 09/30 20:39
→ mantour: 如果要很嚴格的說，瞬時速度應該是平均速度的極限，時間 09/30 20:58
→ mantour: 取再短平均速度都不會變成瞬時速度。瞬時加速度是平均加 09/30 20:58
→ mantour: 速度的極限，時間取再短，平均加速度也不會變成瞬時加速 09/30 20:58
→ mantour: 度。所以你說瞬時速度也是一個區間，也不完全對。 09/30 20:58
照你的解釋"瞬時"根本不存在不是嗎??因為當delta_t=\=0時，只是一個平均的極限，不等於"瞬時"
而當delta_t=0時，一切都不會有變化。
所以"瞬時"並不存在於真實世界。
那物理學上那何必討論一個根本不存在的事件。
還為一個不存在的事件，取一個代號"瞬時"。
回到原PO的問題
"那如果將許多的瞬時加總，每一段瞬時都只能走直線，那轉彎到底是如何發生的呢？"
而會有這樣的疑問，是出至於一開始的這句話:
"由於來不及轉彎，只能走直線，所以位移大小等於路徑長"
上面這句話，就是後續疑問的原點。
而這句話，基本上邏輯就是錯誤的。
以圓周運動來看，無論"瞬時"的時間區間取的多小。
其運動軌跡，依舊是圓周的一部分，其路徑依舊是曲線。
轉彎還是發生了，而且一直都在
而計算瞬時速度所需要的位移，如果用三角函數與曲率半徑去做計算。
太過於複雜而且麻煩。
於是借用了數學阿基米德割圓術算圓周率時的過程。
反過來，用路徑取代位移。
簡單的說，阿基米德是用正多邊形的邊長去逼近弧長。
而在處理圓周運動的瞬時速度時，
我們反過來是用路徑長(弧長)去取代位移量(正多邊形的邊長)。
其合理性
"1.路徑與位移的差是否可以忽略、2.路徑曲線的切線方向與位移的方向是否相同"
，阿基米德已經幫我們證明過了。
所以開頭的那句話
"由於來不及轉彎，只能走直線，所以位移大小等於路徑長"
應該修正為
"考慮到瞬時狀態下的位移量很難算，所以用瞬時的路徑長取代位移量去做計算"
"同時用路徑的切線方向去取代位移量的方向"
從這個角度去看，每一個瞬時速度的方向都不相同，
累加起來，當然就轉彎(方向改變)啦。
※ 編輯: cloudwolf (111.254.20.40 臺灣), 09/30/2021 22:18:55
推 crazyjonas: 謝謝回應 09/30 21:43