為什麼這篇瑕積分算法鄉民發文收入到精華區：因為在瑕積分算法這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者bennygameii (鹼性椅子水)看板Math標題[微積] 1/x從-1積到2的積分問題時間...
想請問觀念問題
1/x 從-1積到2的答案會是多少?
我們分成兩派
1.
1/0 不存在 所以此積分不存在
答案1:不存在
2.
ln2-ln(|-1|) = ln2
答案2:ln2
想請問哪個是正確的
感謝!!
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◆ From: 140.118.106.69
推 whalelover :1. 兩塊面積不能對消 12/05 12:32
推 profyang :Cauchy Principal Value 12/05 12:41
→ profyang :都對 看你定義而已 但你想一個告訴你算得出來 一個告 12/05 12:41
→ profyang :訴你算不出來 這樣哪個比較實用? 12/05 12:42
推 APM99 :要用瑕積分來看 答案是不存在 12/05 13:20
→ yhliu :(1) 不存在, 但理由不是因為 1/0 不存在. 12/05 13:24
→ yhliu :(2) 即使引用 "Cauchy 主值" 的觀念,所列算法也不對! 12/05 13:25
→ yhliu :引用 ∫_[a,b] f(x) dx = F(b)-F(a) 公式, 必須確定 12/05 13:26
→ yhliu :F(x)+C, C 是積分常數, 是 f(x) 的所有反導數. 12/05 13:27
→ yhliu :但 1/x 在跨越 0 的區間, 反導數是不存在的. 它的反 12/05 13:27
→ yhliu :導數分別存在於 (0,∞) 及 (-∞,0), 分別是 ln(x)+C1 12/05 13:28
→ yhliu :與 ln(-x)+C2, 注意 C1, C2 都是任意的, 兩者不相干. 12/05 13:29
→ yhliu :如果把同樣算法套用於 ∫_[a,b] 1/x^2 dx 就知道錯誤 12/05 13:30
→ yhliu :套用公式會產生什麼矛盾結果了! 12/05 13:30
→ yhliu :又: 對 profyang 的說法個人以為有待商榷. 固然 12/05 13:32
→ yhliu :Cauchy 主值可以給予這個發散的瑕積分一個結果, 但它 12/05 13:32
→ yhliu :必須小心使用. "不存在" 的結論不見得比不分青紅皂白 12/05 13:33
→ yhliu :給個結果更糟.\ 12/05 13:33
→ yhliu :或許, 任意給個結果卻不說清楚這個結果的意義與條件, 12/05 13:34
→ yhliu :比不給結果, 其造成的問題更嚴重! 12/05 13:35
→ yyc2008 :我覺得舉C_1 C_2也似乎說不太通 首先當成一個積分 12/05 14:34
→ yyc2008 :很自然取相同的積分常數 就算C_1 不等於C_2 就跟積有 12/05 14:35
→ yyc2008 :斷點的情況 在有限斷點的情況下 積分值相同 12/05 14:36
→ yyc2008 :所以矛盾的結果是什麼?可以說清楚嗎? 12/05 14:36
推 suhorng :那個矛盾是在指說直接套用 F(b)-F(a) 公式 12/05 14:41
→ suhorng :不是說 Cauchy 主值 12/05 14:41
→ suhorng :如果說討論的 是在初微通常會給的內容情況下 12/05 14:43
推 yyc2008 :F(b)-F(a)如果選擇相同常數 就不會有問題 如果要把 12/05 14:46
→ yyc2008 :x區間分成正與負 那積分常數也不重要 因為兩個區間的 12/05 14:47
→ yyc2008 :不同積分常數各自F(上限)-F(下限)都會消掉 12/05 14:47
→ yhliu :如果 1/x 在任何區間都有反導數, 當然所有反導數只會 12/05 15:53
→ yhliu :差一個常數. 然而, 1/x 在含有 0 的區間是不存在反導 12/05 15:53
→ yhliu :數的! 它是 "分別" 在 (0,∞) 與 (-∞,0) 存在反導數 12/05 15:54
→ yhliu :這就是為什麼有兩個不相干的積分常數的理由! 因為它 12/05 15:55
→ yhliu :是在兩個分離的範圍各自有一個反導數. 12/05 15:55
→ yhliu :再舉個例子, f(x)=1 當 0≦x<1, =2 當 1≦x≦2, 則 12/05 15:56
→ yhliu :f(x) 在 [0,1), 在 [1,2] 分別有反導數, 依次是 12/05 15:57
→ yhliu :F(x)=x+C1 (0≦x<1) 與 F(x)=2x+C2 (1≦x≦2), 但 12/05 15:58
→ yhliu :不是 F(x) = x+C 0≦x<1, =2x+C, 1≦x≦2. 因此, 12/05 15:58
→ yhliu :此例 f(x) 在 [0,2] 的定積分必須分段計算才能套公式 12/05 15:59
→ yhliu :若直接套後者 (在 [0,2] 用同一個 C 的 F(x)), 結果 12/05 16:00
→ yhliu :很明顯是錯的. 12/05 16:00
→ yyc2008 :但是現在問的是1/x 這是對稱的 y說的是不對稱的 12/05 16:52
→ yyc2008 :對稱的特殊情況下 使用相同C一 樣會有問題嗎? 12/05 16:53
→ yyc2008 :積分跨越斷點是真的會有問題 但是在對稱情況下 不是 12/05 16:54
→ yyc2008 :就沒這種問題? 12/05 16:54
→ yyc2008 :S1/x dx = ln|x|+C 左右兩區間ln(-x)+C x<0 和 ln(x) 12/05 16:56
→ yyc2008 :+C x>0 在x=0似乎可以接上去 12/05 16:58
→ yyc2008 :所以我的意思是 如果按照你舉的例子 我只要另C_1-C_2 12/05 16:59
→ yyc2008 :=1就可以順利直接積跨越斷點的積分 排除掉斷點問題 12/05 17:00
推 yyc2008 :謝謝yhliu 我大概了解你的意思 12/05 17:03
→ yyc2008 :可是就像我前面說的 適當調整C_1 C_2讓積分後函數連 12/05 17:05
→ yyc2008 :續 就可以把有問題的點當作正常點來看 這樣有錯嗎? 12/05 17:05
→ yhliu :你沒弄清楚問題所在, 其實也是因為沒弄清楚套用微積 12/05 18:03
→ yhliu :分公式的道理所在. ∫_[a,b] f(x) dx = F(b)-F(a) 這 12/05 18:03
→ yhliu :公式所以能用, 是因 f(x) 在 [a,b] 有反導數, 雖然 12/05 18:04
→ yhliu :反導數不唯一, 但它們之間相差一個常數. 而如果這條 12/05 18:04
→ yhliu :件不成立, 例如 1/x 在 [-1,2]-{0}, 或我舉的例子, 12/05 18:05
→ yhliu :雖然也可以說 F(x)=ln(|x|)+C 是 1/x 在 [-1,2]-{0} 12/05 18:06
→ yhliu :的反導數之一, 或 F(x)=x+C 0≦x<1, =2x+C, 1≦x≦2 12/05 18:07
→ yhliu :在我那個例子是 f(x) 的反導數之一, 但那只是 "之一" 12/05 18:07
→ yhliu :而不是 "全部". 就 "全部" 而言, 1/x 在 [-1,2], 12/05 18:08
→ yhliu :或所舉之例 f(x) 在 [1,2] 都不存在反導數的; 而就剔 12/05 18:09
→ yhliu :除 F(x) 不可微之點來考慮, 那個共同 C 的 F(x) 不是 12/05 18:10
→ yhliu :"所有" 反導數的形式, 是個別的積分常數 Ci 才是. 12/05 18:10
→ yhliu :就第二個例子而言, 適當調整 C1, C2 使 F(x) 在 x=1 12/05 18:11
→ yhliu :連續, 這樣的 F(x) 套入定積分公式仍然是對的; 而就 12/05 18:12
→ yhliu :1/x 之例而言, F(x)=ln(|x|)+Ci 無法調整 C1, C2 使 12/05 18:13
→ yhliu :F(x) 在 x=0 連續, 因此無論怎麼套用都會出問題. 12/05 18:14
→ yhliu :考慮 1/x^2 在包含 0 的區間的積分, 可以更明顯地看 12/05 18:14
→ yhliu :出這個問題. 12/05 18:14
→ yyc2008 :謝謝 我想想看 12/05 19:22
→ yhliu :我早先沒把你說的意思看清楚. 如果你說的就是調整 12/05 19:53
→ yhliu :C1. C2 而能使 F(x) 在積分區間是一個連續函數, 就像 12/05 19:54
→ yhliu :後來我說的那樣, 那麼我相信是對的. 不過這也是先承 12/05 19:55
→ yhliu :認了 f(x) 在 [a,b] 需分段才會有定義上的 "反導數", 12/05 19:56
→ yhliu :對計算而言實際上可能不實用. 實際上這時的 F(x) 就 12/05 19:57
→ yhliu :是 ∫_[a,x] f(t) dt. 12/05 19:57
→ yyc2008 :對 我的意思就是那樣 12/06 07:57