對於泰勒展開式有很多常見的迷思

首先是

" 所有的函數都可以寫成無窮多項式級數, 也就是它的泰勒展開式 "

這句話是錯的

因為即使是常見的 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ... 這個

也只有在 x in (-1, 1) 之中是對的 沒寫範圍的話上式並不成立

我們真正知道的是

" 如果一個函數可以寫成無窮多項式級數, 那一定剛好是它的泰勒展開式 "

這無法幫你證已知函數等於它的泰勒展開式, 因為你並不事先知道它可以寫成多項式級數

因此在推導 e^x , sin x, tan^-1 x 這些函數的級數時

並不是代 0 到它們的 n 次微分後就做完了

必須借助 "餘項" 的估計才能證明相等

如果沒有估計餘項 例如在二項級數 (1+x)^a 時, 其實不算完整證完


而你看到的這個 e^(-1 / x^2) 怪異的例子是要反證另一個迷思的錯誤

上面 1 + x + x^2 + ... 在 (-1, 1) 之外是發散的 所以這是兩邊不等的原因嗎?

是不是有 " 所有的函數的泰勒展開式, 如果收斂就跟這個函數相等 "

答案是仍然不對

在 e^(-1 / x^2) 這個例子就是泰勒展開式收斂, 旦不收斂到原本的函數
※ 引述《VElysian (家瑀 致中和)》之銘言：
: 問題一
: 我知道每一個函式都可以有對應的泰勒展開式（Taylor Expansion），
: 但是有一些函式則找不到其泰勒展開式，
: 請問應該如何判定某個函式無法用泰勒展開呢？
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: 問題二
: 書上有這一個函式： ｅ^（-1/〔ｘ^(－２)〕）
: 他說當 x=0 的時候展開會變成 0+0+0+0+0+.....
: 所以 ｅ^（-1/〔ｘ^(－２)〕） 不符合泰勒展開式。
: 一整個搞不懂......
: 是因為 f(x)=（３^ｘ）/（ｘ！） 在 x=0 時也是 0 所以重複到嗎？
: 如果是這樣的話，那 ｓｉｎ（x=0）＝ 0 卻可以用泰勒展開式？不是應該不行嗎？
: ---------------------------------------------
: 問題三
: 做這樣的分別有什麼好處呢？
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: 最後，嗯，因為我不是數學系的學生，最近在看這方面的知識。
: 希望大家不要嘲笑我太笨....
: 非常謝謝大家。 ^__^

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