【數感生活——成長率、幾何平均數，偶爾還有算術平均數】

最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授先用相加的算術平均數，得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率，成長率是類似複利的概念，要用相乘再開根號的幾何平均數才對」

之後，該教授又貼了一則文章，解釋算術平均數跟幾何平均數在這個情況下是很接近的，所以方便起見他用算術平均數，並附上了數據與程式碼。

當然程式驗證是沒問題的，不過比起程式，數學上的驗證同樣重要且有趣。許多網友已經指出，若是要講究嚴謹，使用「泰勒展開式」會是一個不錯的工具，來證明在面對成長率這種議題時，當成長率不大，算術平均數的確是幾何平均數的近似值。

在這邊，我們提供一個更簡單的，必然曾經出現在各位國高中黑板上的算式來解釋。

首先，
(1+a)(1+b)=1+(a+b)+ab
當a、b都很小，以台灣成長率來說最高不超過0.03。你可以想像ab的值最大也只有0.0009，小到可以忽略了。所以我們可以得到
(1+a)(1+b)≈1+(a+b)

同樣的道理，推展到4個年度的成長率相乘(是不是覺得數學能夠推展的特性真是很棒很好用呢?)，成長率分別是a、b、c、d，可以得到
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≈1+(a+b+c+d)

假設這四年的(幾何)平均成長率是g，同樣可以寫出
(1+g)(1+g)(1+g)(1+g)≈1+(g+g+g+g)=1+4g

整理後就能得到
g≈(a+b+c+d)/4
的結果，近似符號右邊是算術平均數，左邊的g則是幾何平均數。

以上，就是為什麼算術平均數跟幾何平均數在這個狀況下，答案會差不多的原因。不過我們要強調，兩者的根本意義完全不同，不能只因為「在某些狀況」答案很接近，就覺得選哪個都無所謂，不明究裡的方便主義會出問題的。舉個反差很大的例子，倘若某年成長100%，隔年衰退50%。

則算術平均數是(100-50)/2=25，平均成長25%。可真正的成長狀況是2x0.5=1，根本沒有成長，幾何平均數是0%。
這時候就差很多了。數據可以有不同的解讀，但回到數學本身，正確答案只有一個。

PS: 感謝 張宏彬 （Hung-Bin Chang）博士協助勘誤XD 也歡迎網友熱心補充泰勒展開式版的說明 ( Sean Huang博士不來一下嗎) ~

PS2: 我們沒有要幫該教授辯護的意思，基本上我認為在沒有解釋清楚的前提下就使用算術平均數去近似，是有失嚴謹的，儘管事後他有補充說明。撰寫這篇文章的本意只是試圖用數學的角度，讓大家理解為什麼，以及在什麼情況下，算術平均數與幾何平均數得到的結果近似。

《#怪物遊戲2：#妖獸讚》可惜只下半盤好棋 (6.6/10)
　
痞客邦 #無雷 原文：http://loory.pixnet.net/blog/post/249628809
　
《怪物遊戲2：妖獸讚》是一部美國恐怖喜劇電影，由阿里·桑德爾執導，麥蒂森·艾斯曼與傑瑞米·雷·泰勒主演，故事改編自R·L·史汀的恐怖童書《雞皮疙瘩》，劇情講述兩位中學男孩桑尼與山姆在閒暇之餘，進入一間荒廢的老宅收集廢棄物，希望能從中找到有價值的寶物來變賣獲利，不過在一次意外中，兩人解開一本神秘書籍的封印，使得書中角色「史賴皮」逃出，由於史賴皮施放的許多邪惡魔法，萬聖節怪物被復活因此引發整個小鎮的危機。
　
從《怪物遊戲》片尾鋪下的伏筆開始，觀眾應該就能猜到《怪物遊戲2：妖獸讚》故事依舊還是鎖定在最後沒有被收回書本的狡詐怪物「史賴皮」身上。不過值得一提的是，或許導演是為了讓史賴皮更清楚的與劇中幾位角色連結，它不是依照前作設定一開始就在外頭搗亂，而是桑尼與山姆的好奇心而被重新放了出來。就因為如此，電影前段兩人加一怪的互動實在是相當有趣，史賴皮想當然耳的先給主角一點甜頭，之後再慢慢讓他們發覺自己的可怕。
　
我猜除了桑尼與山姆之外，大概有眼睛的人都知道，這個長相詭異無比的人偶絕對不是什麼好東西，於是《怪物遊戲2：妖獸讚》便在史賴皮露出馬腳之後，展開一段有如《安娜貝爾》的撞鬼之旅，無論是它的言語開始變得十分不對勁，還是它半夜起床惡作劇，或者以各式瞬間移動顯示它的神出鬼沒，都是導演利用童書所具備的故事架構，來呈現出輕鬆又帶有點恐怖驚悚氣息的新花樣，看到這也使我非常期待之後的劇情進展。
　
不過《怪物遊戲2：妖獸讚》的精彩好像就到此為止，後半部的「怪物大亂鬥」又再度步入《怪物遊戲》的後塵，角色變得極為扁平的同時，故事更是變得倉促且單調乏味。除了小熊軟糖與驚鴻一瞥的《牠》紅氣球之外，幾乎全部都是毫無意義、用來拖延電影片長的過場表演，甚至最後大決戰也只是草草解決，史賴皮就好像突然中風了一樣，與前段塑造神通廣大的能力相比，有這種結果實在是令人非常失望。
　
整體而言，《怪物遊戲2：妖獸讚》以寫作為主軸，由女孩申請大學的急迫，來突顯作家陷入靈感沙漠時的危機，進而帶出叫人「保持自信，莫忘初心」的中心思想。不過可惜的是，雖然電影比起類型相似的《滴答屋》故事格局更大也更有趣，但整部片不僅片名翻得「妖獸爛」，後半節老套公式化的劇情走向，很明顯是索尼打算緊抓萬聖節檔期所製作出來的商業作品。或許在戲院依然能娛樂觀眾，但時間一長它就會像片中《妖獸讚》小說一樣，被封印在隱藏的密室之中，只能期待哪天某個白目小孩翻出才能因此重見光明。
　
Sony Pictures 索尼影業

《#怪物遊戲2：#妖獸讚》可惜只下半盤好棋 (6.6/10)
　
痞客邦 #無雷 原文：http://loory.pixnet.net/blog/post/249628809
　
《怪物遊戲2：妖獸讚》是一部美國恐怖喜劇電影，由阿里·桑德爾執導，麥蒂森·艾斯曼與傑瑞米·雷·泰勒主演，故事改編自R·L·史汀的恐怖童書《雞皮疙瘩》，劇情講述兩位中學男孩桑尼與山姆在閒暇之餘，進入一間荒廢的老宅收集廢棄物，希望能從中找到有價值的寶物來變賣獲利，不過在一次意外中，兩人解開一本神秘書籍的封印，使得書中角色「史賴皮」逃出，由於史賴皮施放的許多邪惡魔法，萬聖節怪物被復活因此引發整個小鎮的危機。
　
從《怪物遊戲》片尾鋪下的伏筆開始，觀眾應該就能猜到《怪物遊戲2：妖獸讚》故事依舊還是鎖定在最後沒有被收回書本的狡詐怪物「史賴皮」身上。不過值得一提的是，或許導演是為了讓史賴皮更清楚的與劇中幾位角色連結，它不是依照前作設定一開始就在外頭搗亂，而是桑尼與山姆的好奇心而被重新放了出來。就因為如此，電影前段兩人加一怪的互動實在是相當有趣，史賴皮想當然耳的先給主角一點甜頭，之後再慢慢讓他們發覺自己的可怕。
　
我猜除了桑尼與山姆之外，大概有眼睛的人都知道，這個長相詭異無比的人偶絕對不是什麼好東西，於是《怪物遊戲2：妖獸讚》便在史賴皮露出馬腳之後，展開一段有如《安娜貝爾》的撞鬼之旅，無論是它的言語開始變得十分不對勁，還是它半夜起床惡作劇，或者以各式瞬間移動顯示它的神出鬼沒，都是導演利用童書所具備的故事架構，來呈現出輕鬆又帶有點恐怖驚悚氣息的新花樣，看到這也使我非常期待之後的劇情進展。
　
不過《怪物遊戲2：妖獸讚》的精彩好像就到此為止，後半部的「怪物大亂鬥」又再度步入《怪物遊戲》的後塵，角色變得極為扁平的同時，故事更是變得倉促且單調乏味。除了小熊軟糖與驚鴻一瞥的《牠》紅氣球之外，幾乎全部都是毫無意義、用來拖延電影片長的過場表演，甚至最後大決戰也只是草草解決，史賴皮就好像突然中風了一樣，與前段塑造神通廣大的能力相比，有這種結果實在是令人非常失望。
　
整體而言，《怪物遊戲2：妖獸讚》以寫作為主軸，由女孩申請大學的急迫，來突顯作家陷入靈感沙漠時的危機，進而帶出叫人「保持自信，莫忘初心」的中心思想。不過可惜的是，雖然電影比起類型相似的《滴答屋》故事格局更大也更有趣，但整部片不僅片名翻得「妖獸爛」，後半節老套公式化的劇情走向，很明顯是索尼打算緊抓萬聖節檔期所製作出來的商業作品。或許在戲院依然能娛樂觀眾，但時間一長它就會像片中《妖獸讚》小說一樣，被封印在隱藏的密室之中，只能期待哪天某個白目小孩翻出才能因此重見光明。
　
Sony Pictures 索尼影業