為什麼這篇正整數n鄉民發文收入到精華區：因為在正整數n這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者pentiumevo (數學系最不靈光的人)看板Math標題[中學] 反證法請教：假定有最大正整...
正整數n 在 ?賭Sir｜數學考試專家 Instagram 的最佳解答
2021-09-03 14:17:25
首先，盤古初開有天有地有盤古，但係無質數（Prime Number）存在，所有數學概念都係人製造出嚟😌 換言之，製造嘅人必然有佢嘅目的、有佢嘅考量，其實包同唔包都得，正如你早餐食飯定食麵都唔會死，但你梗係會食個好味啲嘅😋 後來，大家都決定，質數係唔包1嘅，最細嘅質數係2，然後一路數落去：2、3...
在Apostol的線代中，第0.14節提出了一個定理：「如果存在最大正整數n，則n=1。」
Apostol寫說可以用反證法來證明，但我想了很久，始終抓不到作者的意思。
如果要使用反證法，那起手式應該就是要假設n≠1，也就是n。不過接下來我就不知道該怎?
我是想，此地正整數必須遵循Peano公設，假定n為最大正整數，按公設必有後繼n+1。
引入良序性，得n+1≧n。再根據定理條件有n+1≦n。但因為任何正整數不會等於其後繼，所以只會有n<n+1以及n+1<n，於是有n<n，矛盾。所以不可能有最大正整數。
但是這樣推不出定理結論的n=1。
想了很久，實在是沒有一點思路。還請各位朋友指教，謝謝。
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推 walkwall : 反證法的話 我會假定存在最大整數n>1 然後證明這03/11 22:26
→ walkwall : 樣會導致一個比n更大的正整數m 導致矛盾 03/11 22:26
→ walkwall : 這樣假定不成立的話 最大正整數就只能為1了03/11 22:27
→ walkwall : 手上沒書 不清楚前後命題為何 不過這這樣說來推導 03/11 22:28
→ walkwall : 大概不會是用加 而是乘 例如若n成立則n^2成立03/11 22:29
→ walkwall : 才可能有上面的結果 03/11 22:29
→ pentiumevo : 我覺得很怪啊！因為作者也沒有說他所考慮的正整數集03/11 22:36
→ pentiumevo : 合要裝備什麼二元運算。 03/11 22:36
※ 編輯: pentiumevo (101.9.130.45), 03/11/2018 22:43:29→ yyc2008 : n<n+1以及n+1<n 能夠推得出 n<n? 03/11 22:50
→ pentiumevo : 所以不能考慮傳遞性？ 03/11 22:59
推 Vulpix : 可以，只是你沒有朝著證明那句話前進。要注意前提本 03/11 23:27
→ Vulpix : 身是錯誤的，那得出什麼荒謬的結論都沒問題。但是過 03/11 23:27
→ Vulpix : 程可能很特殊，你只是剛好沒有走到那條路上。 03/11 23:27
推 walkwall : 剛剛看了你的書本網頁版, 我覺得上述n^2替換掉n+1 03/11 23:32
→ Vulpix : 例如：若整數1=0，則任意不定元都是3。這應該要同乘 03/11 23:32
→ Vulpix : x-3然後解出x，但如果沒做類似的步驟，很可能得不出 03/11 23:32
→ Vulpix : 結論。 03/11 23:32
→ walkwall : 應該就是你所想要的證明03/11 23:32
→ walkwall : 他只是要你練習 寫出能做出這樣證明的關鍵步驟03/11 23:33
→ walkwall : 而非後續證明的預備定理03/11 23:34
→ Vulpix : 如果是n^2的寫法，我倒是覺得可以不要寫反證，直接03/11 23:35
→ Vulpix : 來比較快。03/11 23:35
→ ADHD : n一定>=1 假設n>1 則n^2>n 矛盾 所以n=1 03/11 23:58
下面這樣的寫法呢？剛剛趴在桌上想到的。
設n為最大正整數。
因為n是正整數，所以n≧1。
由n≧1有2n-1≧1，即2n-1亦必為正整數。
按定理假設得2n-1≦n，於是推得n≦1。
因為n≧1且≦1，所以n=1。
→ ADHD : 估狗了一下發現是有人提出來的東西03/11 23:59
原來是Perron!
→ ADHD : 用邏輯來理解的話應該是 前件為假 則任何命題都成立03/12 00:02
→ pentiumevo : 用邏輯來講感覺有點隔靴搔癢XD03/12 00:07
※ 編輯: pentiumevo (101.9.130.45), 03/12/2018 00:12:02→ ADHD : 其實就邏輯的角度來說 你原本的證明感覺可以(? 03/12 00:13
→ ADHD : 反正你要證明什麼你就假設他的逆命題就好了03/12 00:14
→ ADHD : 因為假設完你就不管他 然後推出不存在最大正整數 03/12 00:14
→ ADHD : 這樣的話就矛盾 所以假設的反面就會成立03/12 00:15
嗯..但我還是感覺我一開始的那個想法不到點子上。
不過還是非常感謝各位朋友的指教！開眼界了，原來這問題竟還是掛上人名的。
謝謝各位。
※ 編輯: pentiumevo (101.9.130.45), 03/12/2018 00:19:24
推 walkwall : 噗 居然有名字的阿... 我真的不知道 只是照著數 03/12 06:53
→ walkwall : 學的直覺 應該要這樣寫而已 03/12 06:54
→ APM99 : 公設 良序性 ... 走太遠了吧 怎不乾脆從集合論 03/14 17:56
→ APM99 : 出發 03/14 17:56