※ 引述《sp123458 (阿哩)》之銘言：
: 相信大家都玩過心臟病這個紙牌遊戲吧!
: 昨天晚上跟社團的了玩了一下心臟病
: 但是非常神奇的竟然從第一張到最後一張都沒有要拍的牌
: 而且還連續出現兩次
: 有點毛 雞皮疙瘩都起來了
: 然後回家就開始想這機率要怎麼算
: 目前想到的是 第一張牌不是1的機率是48/52應該感覺沒問題
: 但是第二張牌不是2的機率是要用47/51還是48/51或者相加 ??
: 像這種很長的機率問題 有沒有比較方便的算法還是得一張一張的機率乘起來?
下午那篇文章後來實驗發現算錯了就刪了

然後才發現那篇文章裡有計算錯誤 (倒)

總之重新敘述一下

這是列在英文維基百科 Derangement (錯排) 條目最下面推廣部份的做法

若有 m 樣東西 分別有 n_1, n_2, ..., n_m 個

則它們的錯排數為

n_1+n_2+...+n_m ∞
(-1) ∫ L_n_1(x) L_n_2(x) ... L_n_m(x) e^(-x) dx
0

其中 L_n(x) 是所謂的拉蓋爾多項式

http://tinyurl.com/9lo4xrg

用在這個問題上就是令 n_1 = n_2 = ... = n_13 = 4

也就是錯排數為

52 ∞
(-1) ∫ (L_4(x))^13 e^(-x) dx
0

L_4(x) 在條目中可以查到是 (x^4 - 16x^3 + 72x^2 - 96x + 24)/24

∞
積分本身不難 因為 ∫ x^n e^(-x) dx = Gamma(n+1) = n!
0

也就是只需要把 (L_4(x))^13 乘開之後把 x^n 換成 n! 再來求和就行了

但是要把那個 52 次多項式乘開來算還是很累

所以丟給 Mathematica 去算的結果

錯排數約為 1.494*10^48 種

再算進花色的話要乘上 (4!)^13 得到約 1.309*10^66

除以總排法數 52! ≒ 8.066*10^67 就得到所求的機率約為 0.0162 ≒ 1/61.6

也就是平均 61.6 場就會有一次

這個結果比較符合實驗結果 (要出現一千次拍不到的結果約要發六萬多次牌)

-------------------------------------------------------------------------

知識+ 上的 (12/13)^52 ≒ 1/64.212 的答案之所以會跟正解這麼接近

是因為它是在算「手裡的撲克牌每個數字有非常多張然後發 52 張」的極限情形

可以想見這個時候手牌裡每個數字剩幾張已經不怎麼影響機率了

所以才能直接用 12/13 做 52 次方

但實際上一副牌的數字就四張 這就會影響一點機率值

因此答案才會比 (12/13)^52 稍微大一些些

--
LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 180.218.108.125