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[爆卦]微分除法公式證明是什麼？優點缺點精華區懶人包

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「微分除法公式證明」的推薦目錄

微分除法公式證明 在 ?賭Sir｜數學考試專家 Instagram 的最佳貼文

2021-09-03 14:17:25

上次講完 M1 嘅同學，今次輪到 M2 喇🤩⁣ ⁣ 要喺 M2 拎到 5 級，或者 5* 級，甚至 5** 嘅級數，必須將所有 Topic 都讀到極緻，否則好容易踩中 DSE 出卷人精心設計出嚟嘅巨伏，令到你嘅分數好似倒水咁倒，當你仲以為失幾分無所謂嘅時候，好可能已經失緊幾十分而自己都未知！😩⁣ ⁣...

  • 賭Sir（杜氏數學）

    微分除法公式證明 在 賭Sir（杜氏數學） Facebook 的最讚貼文

    2021-08-10 21:30:38
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    上次講完 M1 嘅同學，今次輪到 M2 喇🤩⁣
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    對於 M2 嘅爭標組，我有以下 3 大忠告👇⁣
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    1️⃣ 你必定徹底熟曬 Trigonometric Functions 嘅所有內容！⁣
    ⁣
    千祈唔好睇少呢一課，以為中四初頭就學完，就係食生菜咁食，事實係：近乎所有後來教嘅 Topics 都可以撈埋 Trigonometry 嚟考你，例如 Mathematical Induction 要你證明嘅公式，內裏有 sin cos tan；仲有 Differentiation from First Principles 呢一課，只要佢叫你微分嘅嘢有 sin cos tan，其實變相考你 Trigonometric Functions 多過考你 Limit；除此之外，Differentiation、Integration、甚至係 Matrices 都可以考你極大量嘅 Trigo 操作📐⁣
    ⁣
    對於呢個現象，我自己設計常規課程嘅時候，亦都攪盡腦汁😩，最終決定設計一期針對 Trigonometric Functions 跨課題嘅應用。你嘅溫習攻略都一定要咁做，否則全份 M2 卷處處都係你嘅失分位，分分鐘連 5 級都不保😵⁣
    ⁣
    2️⃣ 你必須建立快速驗算嘅能力😎⁣
    ⁣
    好多M2嘅爭標組學生，都對自己嘅運算能力充滿信心，一路計，一路心急想快啲到達下一步，甚至到達最終答案，快快手做下一題。呢種應試方法，其實有三個可惜之處，好值得我哋依家擬定溫習策略嘅時候，及早糾正——作答混亂甚至字體潦草😐、有機唔撳相信心算🤯、可以驗算鎖定得分都唔 Check🙄⁣
    ⁣
    以上嘅失誤看似小事一樁，但實情係 M2 嘅題目經常環環相扣🔗，尤其是 Section B 嘅長題目，例如 Curve Sketching，一個小失誤能夠導致損失超過 10分🙁 嚴重粗疏嘅爭標組同學，更有機會墜入護級組別😭⁣
    ⁣
    有見及此，你嘅溫習策略裏面，必定要有檢討及制定「 #作答系統 」嘅環節，用熟各種題型嘅答題格式，每次都以固定嘅劇本作答，而且喺過程裏面建立計數機驗算嘅習慣，盡量減少筆算、甚至係心算嘅比重，例如善用 CASIO 3650p 嘅 Differentiation 以及 Intregation 內置功能，以及 CASIO fx50fh 嘅 Matrix 以及 Vector 外置 Program，將答案嘅準確度提升至 100%，直接鎖定得分😎 其實 M2 嘅題目，絕大部份都能夠驗算🔍，以賭 Sir 親身上陣嗰一年為例，我喺交卷之前，已經成功鎖定 >90% 分數，只有 <10% 分數係無法驗算。⁣
    ⁣
    3️⃣ 你要掌握居高臨下嘅 Dominating Skills😌⁣
    雖然話 M2 爭標組要讀到極緻，但唔代表乜都要識，你要問自己：究竟你目前係要做數學家？定係要先裝備好自己、考好 DSE M2 考試？若然短跑選手採用長跑訓練，長跑選手採用短跑訓練，效果必然會事倍功半。⁣
    ⁣
    尤其是香港考試壓力特別高，你唔定個框架比自己，更加會為你造成不必要嘅焦慮😕 咁個框架係咩呢？自然就係考試嘅 Syllabus，千祈唔好沉迷鑽研 Out of Syllabus 嘅技巧，你最應該鑽研嘅係一啲 Syllabus 以內嘅 Dominating Skills，例如 3D Vector 嘅 Projection 技術，以及 System of Linear Equations 嘅 Gaussian Elimination 技術。呢類技巧可以幫你喺 DSE M2 Syllabus 內制霸！⁣
    ⁣
    -----------⁣
    #M2技巧王 幫你避開考評陷阱，教你搶分技巧；M2 輕鬆攞 Lv 5+ 喇🌟⁣
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    🎲賭Sir｜高階數學考試專家⁣
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    🎓21 項數學公開試．以一 Take 過考取完美戰績⁣
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    CE & AL：Math+A.Math+Pure+Applied【A】⁣
    IAL：C12+C34+F1+F2+F3+M1+M2+M3+S1+S2+S3+D1【A】⁣
    IGCSE：Mathematics+Further Pure Mathematics 【9】⁣
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    🧠以心理學、高效學習融入補習教育當中⁣
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    好多人以為自己因為對數學無興趣，所以數學低分；事實剛好相反：因為自己數學低分，所以對數學無興趣。試諗下，若然你有歌神嘅聲線，你仲會對唱歌無興趣嗎？⁣
    ⁣
    ------------⁣
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  • Taipei Ethereum Meetup

    微分除法公式證明 在 Taipei Ethereum Meetup Facebook 的最佳貼文

    2021-06-21 17:57:07
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    📜 [專欄新文章] Merkle Tree in JavaScript

    ✍️ Johnson

    📥 歡迎投稿： https://medium.com/taipei-ethereum-meetup #徵技術分享文 #使用心得 #教學文 #medium

    這篇文章會說明 Merkle Tree 的運作原理，以及解釋 Merkle Proofs 的用意，並以 JavaScript / TypeScript 簡單實作出來。

    本文為 Tornado Cash 研究系列的 Part 1，本系列以 tornado-core 為教材，學習開發 ZKP 的應用，另兩篇為：

    Part 2：ZKP 與智能合約的開發入門

    Part 3：Tornado Cash 實例解析

    Special thanks to C.C. Liang for review and enlightenment.

    本文中實作的 Merkle Tree 是以 TypeScript 重寫的版本，原始版本為 tornado-core 以 JavaScript 實作而成，基本上大同小異。

    Merkle Tree 的原理

    在理解 Merkle Tree 之前，最基本的先備知識是 hash function，利用 hash 我們可以對資料進行雜湊，而雜湊後的值是不可逆的，假設我們要對 x 值做雜湊，就以 H(x) 來表示，更多內容可參考：

    一次搞懂密碼學中的三兄弟 — Encode、Encrypt 跟 Hash

    SHA256 Online

    而所謂的 Merkle Tree 就是利用特定的 hash function，將一大批資料兩兩進行雜湊，最後產生一個最頂層的雜湊值 root。

    當有一筆資料假設是const leaves = [A, B, C, D]，我們就用function Hash(left, right)，開始製作這顆樹，產生H(H(A) + H(B))與H(H(C) + H(D))，再將這兩個值再做一次 Hash 變成 H(H(H(A) + H(B)) + H(H(C) + H(D)))，就會得到這批資料的唯一值，也就是 root。

    本文中使用的命名如下：

    root：Merkle Tree 最頂端的值，特色是只要底下的資料一有變動，root 值就會改變。

    leaf：指單一個資料，如 H(A)。

    levels：指樹的高度 (height)，以上述 4 個資料的假設，製作出來的 levels 是 2，levels 通常會作為遞迴的次數。

    leaves：指 Merkle Tree 上的所有資料，如上述例子中的 H(A), H(B), H(C), H(D)。leaves 的數量會決定樹的 levels，公式是 leaves.length == 2**levels，這段建議先想清楚！

    node：指的是非 leaves 也非 root 的節點，或稱作 branch，如上述例子中的H(H(A) + H(B)) 和 H(H(C) + H(D))。

    index：指某個 leaf 所在的位置，leaf = leaves[index]，index 如果是偶數，leaf 一定在左邊，如果是奇數 leaf 一定在右邊。

    Merkle Proofs

    Merkle Proofs 的重點就是要證明資料有沒有在樹上。

    如何證明？就是提供要證明的 leaf 以及其相對應的路徑 (path) ，經過計算後一旦能夠產生所需要的 root，就能證明這個 leaf 在這顆樹上。

    因此這類要判斷資料有無在樹上的證明，類似的說法有：proving inclusion, proving existence, or proving membership。

    這個 proof 的特點在於，我們只提供 leaf 和 path 就可以算出 root，而不需要提供所有的資料 (leaves) 去重新計算整顆 Merkle Tree。這讓我們在驗證資料有沒有在樹上時，不需要花費大量的計算時間，更棒的是，這讓我們只需要儲存 root 就好，而不需要儲存所有的資料。

    在區塊鏈上，儲存資料的成本通常很高，也因此 Merkle Tree 的設計往往成為擴容上的重點。

    我們知道 n 層的 Merkle Tree 可以存放 2**n 個葉子，以 Tornado Cash 的設計來說，他們設定 Merkle Tree 有 20 層，也就是一顆樹上會有 2**20 = 1048576 個葉子，而我們用一個 root 就代表了這 1048576 筆資料。

    接續上段的例子，這顆 20 層的 Merkle Tree 所產生的 Proof ，其路徑 (path) 要從最底下的葉子 hash 幾次才能到達頂端的 root 呢？答案就是跟一棵樹的 levels 一樣，我們要驗證 Proof 所要遞迴的次數就會是 20 次。

    在實作之前，我們先來看 MerkleTree 在 client 端是怎麼調用的，這有助於我們理解 Merkle Proofs 在做什麼。

    基本上一個 proof 的場景會有兩個人：prover 與 verifier。

    在給定一筆 leaves 的樹，必定產生一特定 root。prover 標示他的 leaf 在樹上的 index 等於 2，也就是 leaves[2] == 30，以此來產生一個 proof，這個 proof 的內容大致上會是這個樣子：

    對 verifier 來說，他要驗證這個 proof，就是用裡面的 leaf 去一個一個與 pathElements 的值做 hash，上述就是 H('30', 40) 後得出 node，再 hash 一次 H('19786...', node) 於是就能得出這棵樹的 root。

    重點來了，這麼做有什麼意義？它的巧思在於對 verifier 來說，他只需要儲存一個 root，由 prover 提交證明給他，經過計算後產生的 root 如果跟 verifier 儲存的 root 一樣，那就證明了 prover 所提供的資料確實存在於這個樹上。

    而 verifier 若不透過 proof ，要驗證某個 leaf 是否存在於樹上，也可以把 leaves = [10, 20 ,leaf ,40]整筆資料拿去做 MerkleTree 的演算法跑一趟也能產生特定的 root。

    但由 prover 先行計算後所提交的 proof，讓 verifier 不必儲存整批資料，也省去了大量的計算時間，即可做出某資料有無在 Merkle Tree 上的判斷。

    Sparse Merkle Tree

    上述能夠證明資料有無在樹上的 Merkle Proofs 是屬於標準的 Merkle Tree 的功能。但接下來我們要實作的是稍微不一樣的樹，叫做 Sparse Merkle Tree。

    Sparse Merkle Tree 的特色在於除了 proving inclusion 之外，還可以 proving non-inclusion。也就是能夠證明某筆資料不在某個 index，例如 H(A) 不在 index 2 ，這是一般 Merkle Tree 沒辦法做到的。

    而要做到 non-membership 的功能其實也不難，就是我們要在沒有資料的葉子裡補上 zero value，或是說 null 值。更多內容請參考：What’s a Sparse Merkle Tree。

    實作細節

    本節將完整的程式碼分成三個片段來解釋。

    首先，這裡使用的 Hash Function 是 MiMC，主要是為了之後在 ZKP 專案上的效率考量，你可以替換成其他較常見的 hash function 例如 node.js 內建 crypto 的 sha256：

    crypto.createHash("sha256").update(data.toString()).digest("hex");

    這裡定義簡單的 Merkle Tree 介面有 root, proof, and insert。

    首先我們必須先給定這顆樹的 levels，也就是樹的高度先決定好，樹所能容納的資料量也因此固定為 2**levels 筆資料，至於要不要有 defaultLeaves 則看創建 Merkle Tree 的 client 自行決定，如果有 defaultLeaves 的話，constructor 就會跑下方一大段計算，對 default 資料開始作 hash 去建立 Merkle Tree。

    如果沒有 defaultLeaves，我們的樹也不會是空白的，因為這是顆 Sparse Merkle Tree，這裡使用 zeroValue 作為沒有填上資料的值，zeros 陣列會儲存不同 level 所應該使用的 zero value。假設我們已經填上第 0 筆與第 1 筆資料，要填上第 2 筆資料時，第 2 筆資料就要跟 zeros[0] 做 hash，第 2 筆放左邊， zero value 放右邊。

    我們將所有的點不論是 leaf, node, root 都用標籤 (index) 標示，並以 key-value 的形式儲存在 storage 裡面。例如第 0 筆資料會是 0–0，第 1 筆會是 0–1，這兩個 hash 後的節點 (node) 會是 1–0。假設 levels 是 2，1–0 節點就要跟 1–1 節點做 hash，即可產出 root (2–0)。

    後半部份的重點在於 proof，先把 proof 和 traverse 看懂，基本上就算是打通任督二脈了，之後有興趣再看 insert 和 update。

    sibling 是指要和 current 一起 hashLeftRight 的值…也就是相鄰在兩旁的 leaf (or node)。

    到這裡程式碼的部分就結束了。

    最後，讓我們回到一開始 client 調用 merkleTree 的例子：

    以及 proof 的內容：

    前面略過了 proof 裡頭的 pathIndices，pathIndices 告訴你的是當前的 leaf (or node) 是要放在左邊，還是放在右邊，大概是這個樣子：

    if (indices == 0) hash(A, B);if (indices == 1) hash(B, A);

    有興趣的讀者可以實作 verify function 看看就會知道了！

    原始碼

    TypeScript from gist

    JavaScript from tornado-core

    參考

    Merkle Proofs Explained

    What’s a Sparse Merkle Tree?

    延伸：Verkle Tree

    Merkle Tree in JavaScript was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.

    👏 歡迎轉載分享鼓掌

  • 陸秀慧 Desiree's Planet

    微分除法公式證明 在 陸秀慧 Desiree's Planet Facebook 的最佳解答

    2021-03-07 09:31:56
    有 16 人按讚

    The Man Who Knew Infinity天才無限家 (Matt Brown，2015)
    Country：USA
    Score：7/10
    講述拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）這個印度自學數學天才的一生，在僅能糊口飯吃的抄寫員工作之餘，因為一封自介信寫出了令人驚嘆的數學公式，卻因為只有結果公式、沒有中間推導的過程，令人不確定究竟是真實可信的研究成果，英國劍橋數學家哈代（G.H. Hardy）半信半疑地送出邀請，拉馬努金於是獨自飄洋過海進入劍橋，而後幾經波折，終於與哈代一同發表了多篇學術論文，並且留下大量仍待後世求證的數學筆記寶藏。還未前往英國前，由於那個年代紙張十分昂貴難以取得，拉馬努金總是窩在神廟，一字一字在石板上推導他的數學公式，再用手肘擦去字跡，日復一日，由守護女神Namagiri陪伴著他和數學孤獨對話，然而内心堅信不移。數學如同那一把平凡無奇的細沙，在拉馬努金眼中，看到流洩的卻是其中組成的各個微小細節，充滿了豐富瑰麗的色彩與形狀，千變萬化呈現在世人眼前等待被發掘。如果世界的真理在他眼前展開，他卻無法用言語告訴我們、與我們溝通，這樣的人一生該有多寂寞？還好，他遇到了伯樂哈代，他說：「只要看它們一眼就知道只有第一流的數學家才能寫下它們。它們肯定是真的，因為如果不是的話，沒人能有足夠的想像力來發明他們。」在哈代被問到他自認一生對數學最大的貢獻是什麼？哈代回答「發現拉馬努金！」而兩人短暫卻精采的學術合作，則是「我人生中最浪漫的意外」“the one romantic incident in my life”。哈代看似冷漠，也許是最為感性之人。他兩度為拉馬努金爭取研究員資格，在第一次爭取劍橋研究員的資格失敗後，他向拉馬努金道歉，並為整個劍橋感到羞愧，只因為他們無法正視拉馬努金的學術成就、無法看穿其中的學術價值，而只看到他平凡卑微的出身與膚色。第二次他再度為了拉馬努金上戰場，以一擋百，終於為他爭取到了英國皇家協會研究員的榮耀。在爭取的演說中他提到，數學的公式與定理早就已經存在這個世界上，並不是我們去發明它，而是去尋找答案、去理解。曾經生存在黑暗世界中的人類，透過一代代的智者偉人領路，撥開暗夜中的迷霧，在一處處燃起了光亮，讓我們漸漸能夠看清眼前的景象，找到繼續前行的路。拉馬努金曾說「一個方程式對我沒有意義，除非它代表了神的一個想法。」是這樣單向不退卻、不曾動搖過的信仰，支持他一路從印度到英國、忍受拋下妻子母親的孤獨、扛著眾人的鄙視與欺侮、堅持到生命最後一刻。證明也許是種語言，讓我們能用我們可以解讀的方式，去了解高於我們所理解的世界運行邏輯。因為哈代的眼光與智慧，沒有讓世界錯失了一個數學天才，而因為拉馬努金的無數驚人創見，哈代的學術成就也因此更添諸多亮點。 拉馬努金出於直覺數感獨立發現的數千個公式與定理，由於缺少前因後言而被添上了一層神祕傳奇的色彩，在他死後留下了許多尚待後人完成證明的數學寶藏，其中有許多命題和定理在後來陸續得到證實與廣泛運用，甚至被援引用來理解黑洞的奧祕。G. H. Hardy ：There are no proofs that can determine the outcome of matters of hearts. We are merely explorers of infinity in the pursuit of absolute perfection.

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