※ 引述《windgogoco (囧令)》之銘言：
: 我對於線積分的方向性有很大的問題，在算題目的時候超級明顯
: 常常跟解答的差異就是在負號，有時候正確有時候差負號，這很煩
: 能否請教一下我的算式究竟在哪裡有問題
: 1.首先是一般的線積分
: http://imgur.com/a/rzjlh
: 第二題是我最有問題的，不是從二分之π到四分之π嗎，順序不是不能顛倒嗎

這一題你沒有按照定義算。

線積分的曲線要定義在[a,b]上，

寫下這個記號時，已經強迫a不能比b大。


那要怎麼修改才可以呢？

方法1：

將積分的黎曼和寫出來，

|v(t*)|Δt代表的是一小段「長度」，所以應該非負。

那麼積分區間就應該改成[π/4, π/2]。

方法2：

重新參數化曲線，這次試試看(2*sin(t), 2*cos(t))，

應該會得到正確的結果。

方法3：

如果覺得方法1太依賴直覺、方法2又要換方法太麻煩，

試試考慮本來的定義。

∫f(x,y)√[(dx)^2+(dy)^2]

= ∫f(x,y)√[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2] *|dt|

π/4
= ∫ f(x(t),y(t))√4 *(-dt)
π/2

其實本質與方法1一模一樣，只是有個算式在看起來或許讓人更放心。

: 2.再來是向量場中的線積分
: http://imgur.com/a/PlzpL
: 這題因為前車之鑑，我就想說再倒一次改成由小到大，結果答案還是差負號...

這裡就是你的自作聰明了。

起點就是t=2，終點就是t=-1。

: 到底啥時應該要顛倒，啥時不用我被搞混了
: ※另外想再請問一下如果是封閉曲線內的線積分
: 順時針跟逆時針轉去積分會不會影響答案

其實這兩種線積分的定義說起來是有一點點差異。

1. ∫f(x,y)√[(dx)^2+(dy)^2] 這個是對「弧長」積分。

2. ∫F(x,y)．(dx,dy) 這個是對「位移」積分。

弧長不在乎路徑的方向，位移在起點終點對調時會差一個負號。

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※ 編輯: Vulpix (61.230.70.72), 04/15/2017 16:29:24