為什麼這篇封閉積分符號鄉民發文收入到精華區：因為在封閉積分符號這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者lamarsh (lamarsh)看板Math標題[微積] 線積分 有思考過程時間Mon Jun...
題目如圖
http://imgur.com/a/BHne2
因為範圍感覺能用極座標求解
所以我第一個想法是先用格林定理再搭配極座標
過程如下
Q=3xy,P=y^2
∫∫{(partial[Q]/partial[x])-(partial[P]/partial[y])dxdy
D
=∫Pdx+Qdy
封閉曲線C
=∫∫(3y-y)dxdy
D
=∫∫ydxdy
D
pi 2
=∫ ∫r*Sin[theta]*rdrd[theta]
0 1
=14/3
然後我再用土法煉鋼法
將本來的積分範圍D{在x-y平面像是半個甜甜圈}所構成的封閉曲線C，分成四段，
C1是(2,0)至(-2,0)的半圓，
C2是(-2,0)至(-1,0)的直線，
C3是(-1,0)至(1,0)的半圓，
C4是(1,0)至(2,0)的直線，
接著依序做積分，
∫∫y^2dx+3xydy; x=2Cos[theta],y=2Sin[theta]
C1
pi
=∫{2Sin[theta]}^2d{2Cos[theta]}+3{2Sin[theta]}*{2Cos[theta]}d{2Cos[theta]}
0
=16/3
∫∫y^2dx+3xydy; x is from -2 to -1,y=0
C2
=0
∫∫y^2dx+3xydy; x=Cos[theta],y=Sin[theta]
C3
0
=∫{Sin[theta]}^d{Cos[theta]}+3{Sin[theta]}*{Cos[theta]}d{Cos[theta]}
pi
=-2/3
∫∫y^2dx+3xydy; x is from 1 to 2,y=0
C4
=0
四個線積分加總後是16/3+0-2/3+0=14/3
跟我用格林定理算出來的答案一致，
想請教我的思路是否正確，又或是有疏漏的地方，
謝謝
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.136.74.109
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推 axis0801 : 題目所給的路徑有點詭異,C必須是單連通封閉曲線才能 06/05 08:33
→ axis0801 : 符合格林定理的條件..但題目又另外給了區域D，若按 06/05 08:36
→ axis0801 : 照區域D做格林的二重積分，也應該是從r=0積到r=2的 06/05 08:39
→ axis0801 : 半圓區域(即0至π)，積出來應該是16/3 06/05 08:41
→ axis0801 : 但是如果又按照題目所給的5個點所圍成的區域面積為0 06/05 08:43
→ axis0801 : 這樣積出來的結果就是0 (∵y=0積到y=0) 06/05 08:46
→ axis0801 : 若我的理解有錯，或有其他人可正確分析題意... 06/05 08:48
條件有給X^2+y^2要大於1，所以r不能是0推 LPH66 : 呃, r=0~2? D 區域是半個甜甜圈喔, 半徑是 1 跟 2 06/05 23:44
對，我也是這樣想，只是不確定我的思路對不對...※ 編輯: lamarsh (223.136.74.109), 06/06/2017 04:03:53
推 axis0801 : 哈抱歉是我眼殘看錯r範圍積分區域的確是彩虹狀沒錯 06/06 06:52
推 axis0801 : 格林積分沒問題，然後線積分化為單變數積這樣就OK了 06/06 07:02
這樣的話，我的思路應該是對的囉？謝謝※ 編輯: lamarsh (223.136.74.109), 06/06/2017 15:37:11
推 axis0801 : 對的,但要注意一下積分符號∮Mdx+Ndy是對應封閉曲線 06/06 21:43
→ axis0801 : 重積分∫∫f(x,y)dA 對應的是區域,定義弄正確即可 06/06 21:48