為什麼這篇反三角函數微分證明鄉民發文收入到精華區：因為在反三角函數微分證明這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者julang (君語)看板trans_math標題Re: [微分]三角反函數時間Wed Dec ...
反三角函數微分證明 在 Spark Light 工作坊 Instagram 的最佳解答
2021-08-18 20:27:06
｜Spark Light工作坊｜ 📍｜主題｜ ▫️高一新生應該知道的四件事 📍｜前情提要｜ ▫️大家剛升上高一應該都是既緊張又興奮吧！今天J編就來分享高一新生該注意的四件事，一次讓你對新課綱產生基本認識！ 1. 📍｜數學科螺旋式教學、自然科授課時數縮減｜ 「螺旋式課程」是由美國哈佛大學教授布魯...
我想你可能還沒搞懂反函數的定義
1.先從最基本的定義開始
首先 若我們寫一個函數,假設 y=f(x) =2tanx 指的是 當x=某個值 對應的y為多少
-1
相反的,y=f(x)=2tanx的反函數Y= f (X)意謂的是 當我給定f(x)的y值時 對應的x值
-1
反函數這邊Y和X都和原本函數的x,y不一樣,只是科學家仍然習慣 y=f(x)的表示方式
兀 兀 -1 兀
舉例來說, y=f(----)= 2tan(---)=2 *1 =2, 所以f ( 2 )= ---
4 4 4
而一般而言,反三角函數有比較簡單的表示法
-1
也就是 y= tan x 指的是當 x=某個值時,哪個y取tan會等於x
2.
-1
因為f ( f (x) )= x
-1 -1 -1
d f( f(x) ) df( f(x) ) d( f(x) ) d
=> ----------- = ------------ --------- = ---(x) = 1 (chain rule)
dx df(x) dx dx
d -1 1
=> ---- ( f (x) ) = --------------
dx -1
df( f(x) )
----------
d f(x)
-1 -1 x 2
今 f(x)=2tanx , f (x)= tan ( ---) => f'(x)=2 sec x
2
-1
=> d f (x) 1 1 2
-------- = --------------------- = ------------------ = -------
dx 2 -1 x x 2
2 sec ( tan ( --- )) 2 ( 1+(---)^2 ) 4 + x
2 2
2 2 -1 x x
中間那一步,是因為 sec x = 1 +tan x ,而 tan(tan (---)) = ---
2 2
3.備註
事實上所有 反三角函數 及自然指對數函數的微分都應該當作基本公式
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.26.161.79
※ 編輯: julang 來自: 114.26.161.79 (12/07 19:35)
推 kanonehilber:推備註 140.114.212.53 12/08 00:57
推 znmkhxrw:在證法中，先假定反函數可微，才能chain 1.169.134.220 12/08 01:00
→ znmkhxrw:至於嚴謹話應該要用反函數定理吧 1.169.134.220 12/08 01:01
→ julang:反函數存在=>f(x)一定是1-1函數 114.26.161.79 12/08 06:57
→ julang:所以f'(x)必定有不為零的區間 114.26.161.79 12/08 06:58
→ julang:這樣不是由反函數存在條件 114.26.161.79 12/08 06:59
→ julang:就保證反函數會有可微的區間嗎? 114.26.161.79 12/08 07:00
推 blak:感謝^^118.168.137.139 12/08 08:32
推 znmkhxrw:就算f'(x)不為零，怎麼說反函數可微?? 114.25.181.147 12/09 00:59
→ julang:在某一點可微,就是旨在該點微分存在 114.26.161.79 12/09 07:41
→ julang:既然反函數與原函數合成是恆等式 114.26.161.79 12/09 07:42
→ julang:同時微分,也會是在某個區間的恒等式 114.26.161.79 12/09 07:43
→ julang:又f'(x)不恆為0,故反函數微分存在(即可微) 114.26.161.79 12/09 07:45
→ BaBi:那這樣的前提就是原函數可微? 220.140.110.42 12/10 00:08
→ BaBi:再者有反函數存在, 由於一對一映成, 故可推 220.140.110.42 12/10 00:11
→ BaBi:得反函數微分存在...囉? 220.140.110.42 12/10 00:12
→ BaBi:又由反函數的合成概念, 由Chain Rule導證公式 220.140.110.42 12/10 00:13
→ julang:對,只要f(x)可微,其反函數必定有可微的區間 125.233.157.51 12/10 10:12
→ julang:另種觀點,f(x)在某點可微,由微分的定義 125.233.157.51 12/10 10:14
→ julang:它會在那點連續而且左導數等於右導數 125.233.157.51 12/10 10:15
→ julang:即:f(x)在該點smooth 125.233.157.51 12/10 10:16
→ julang:反函數只是將它沿y=x作對稱 125.233.157.51 12/10 10:17
→ julang:不會破壞原本smooth的特性 125.233.157.51 12/10 10:17
推 znmkhxrw:"f(x)可微,其反函數必定有可微的區間"why 1.169.128.220 12/10 14:45
→ BaBi:因為反函數和原函數的特性, 一對一映成 220.140.110.81 12/10 19:43
→ BaBi:且具 x = y 對稱, 於若原函數於該區間內可微 220.140.110.81 12/10 19:44
→ BaBi:即區間內曲線各點之切線斜率存在且唯一, 故由 220.140.110.81 12/10 19:44
→ BaBi:具 x = y 對稱可得, 其反函數之切線斜率存在 220.140.110.81 12/10 19:45
→ BaBi:但...會不會出現恰好映成至反函數後, 切線為 220.140.110.81 12/10 19:46
→ BaBi:鉛直線呢? 這樣仍稱為可微嗎? 220.140.110.81 12/10 19:46
→ julang:我額外提的觀點,比較直觀,無法真正解釋 125.233.157.51 12/10 19:59
→ julang:只能某種程度解釋反函數是否能微分的問題 125.233.157.51 12/10 20:02
→ julang:另外 ,切線不可能為垂直線 125.233.157.51 12/10 20:03
推 znmkhxrw:我會問這個問題是因為很久之前有想過 111.243.146.15 12/10 20:04
→ znmkhxrw:有沒有不要用到反函數定理而去證明這件事 111.243.146.15 12/10 20:05
→ znmkhxrw:"f(x)可微且不等於0,則反函數在該點可微" 111.243.146.15 12/10 20:05
→ znmkhxrw:當時想很久都缺了些條件 111.243.146.15 12/10 20:06
→ julang:垂直線的斜率為無窮大 125.233.157.51 12/10 20:06
→ znmkhxrw:所以我才問~~嚴謹證明除了反函數定理 111.243.146.15 12/10 20:06
→ znmkhxrw:有其他的媽?? 111.243.146.15 12/10 20:06
→ julang:在某點可微是指該點導數=某個有限值 125.233.157.51 12/10 20:07
→ julang:znmkhxrw大,反函數定理是指什麼? 125.233.157.51 12/10 20:08
推 znmkhxrw:高微後面才會講的大定理 111.243.146.15 12/10 20:09
→ znmkhxrw:敘述的話wiki有~~太長了XD 111.243.146.15 12/10 20:09
→ znmkhxrw:簡單來說就是：一個C^1函數如果在某一點 111.243.146.15 12/10 20:10
→ znmkhxrw:微分不為零，則存在一個鄰域使得這個函數 111.243.146.15 12/10 20:10
→ znmkhxrw:在這個鄰域有C^1的反函數 111.243.146.15 12/10 20:11
→ julang:我不是數學背景的,論嚴謹性我不大清楚 125.233.157.51 12/10 20:11
→ znmkhxrw:因為chain rule的前提是，f,g都要可微 111.243.146.15 12/10 20:11
→ znmkhxrw:所以f(f^(-1)(x))這個要做chain rule 111.243.146.15 12/10 20:12
→ znmkhxrw:必須確定f^(-1)(x)可微 111.243.146.15 12/10 20:12
→ julang:我認為 ,如果能證明反函數夠平滑,也能說明 125.233.157.51 12/10 20:14
推 znmkhxrw:今天看Marsden的高微，他確實有證明了 114.25.177.233 12/12 23:56
→ znmkhxrw:先證明f^(-1) is conti. 114.25.177.233 12/12 23:56