※ 引述《wa007123456 (大笨羊)》之銘言：
: 各位好
: 小弟最近才剛學到一些基本的積分技巧
: 還有變化最多的 "代換積分法"
: 小弟很笨 只能處理類似
: ∫(4x+3)^9 dx 很明顯的積分(把 u=4x+3)
: 但是對於
: ∫1/√x(1+√x)^2 dx 就顯得棘手
: 我想把 u 設成 u=1+√x 去當中間變數去做
: 可是後面往往會搞不清楚自己在做甚麼
: 例如 我會故意想寫成
: du=(1/2√x)dx
: 然後 又把上式變成不對的形式
: ∫(1/√x*u^2) dx ...... <=可以這樣寫嗎?
: 然後再把dx換成du ....
: 結果就錯了
: 因為我是自學 顯得有點吃力
: 希望各位版友能提供意見學習 感謝><
你的問題應該在於混淆了令中間變數之後的代換

事情是這樣的

就拿你的 ∫(1/[√x(1+√x)^2]) dx 為例

當你令了一個中間變數之後 (例如 u = 1+√x)

操作方向一般來說有兩個

一是上式直接微分, 變成 du = (1/2√x) dx

然後在被積函數裡想辦法湊出微分後的右半邊

這裡可以看到把分母的 √x 分開之後, 乘 2 除 2 可以得到我們要的東西:

∫(2/(1+√x)^2) (1/2√x)dx

湊出東西來之後那一團就代換成 du, 再把剩下的 x 換成 u

就能得到 ∫(2/u^2) du

另一個方向是將原變數以中間變數表示, 以上例就是 x = (u-1)^2

對這裡做微分得到 dx = 2(u-1)du 把這個直接代進原積分式裡化簡

其他的 x 也一樣換成 u

這樣就變成 ∫(1/[(u-1)u^2]) 2(u-1)du 一樣能化簡成 ∫(2/u^2) du

兩個方向的選擇基本上以好做為主, 好湊就用前者, 不好湊還是能用後者來代

你所謂簡單的狀況只是微分的式子裡面不含變數, 所以兩種做法看起來一樣

(u = 4x+3 => du = 4dx; x = (u-3)/4 => dx = du/4

不管用湊的用代的接下來的過程都差不多)

但當裡面有變數時, 前者會留下原變數 (du = (1/2√x) dx 在 du 和 dx 之外是 x)

後者會留下中間變數 (dx = 2(u-1)du 在 du 和 dx 之外是 u)

形式不一樣操作也就不一樣, 然後你就把兩種操作給混在一起了才會搞不懂

要記住的是變數變換的目標是把所有原變數換成中間變數

那要怎麼換就要看你所得到的關係式才來決定要怎麼換

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'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the
sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.'
'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled.
'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said
Harry. 'I've been trying to tell you that for years.'
-- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308

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