為什麼這篇交互作用例子鄉民發文收入到精華區：因為在交互作用例子這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者Prozac (沒事不要亂吃)站內Statistics標題Re: [問題] 交互作用 負負相乘的...
交互作用例子 在 學台語 O̍h Tâi-gí Instagram 的最佳貼文
2021-08-18 21:41:49
【搞懂台語裡的日語 #外來語 ✨】 台語裡和日語相近的詞語主要可分成三類：第一類是「台語受到日語影響」，第二類是「日語受到台語影響」，第三類是「台語和日語共同受到古漢語影響」；前兩類都是屬於在日本殖民統治時期產生的語言交互作用，最後一類則是因語言學上的歷史演進而巧妙地產生。 本文將主要著重介紹第...
可討論的點很多
不過既然原po提到用中心化處理共線性
那我就以這點分享一點看法
我不認為中心化主要目的是處理共線性的問題
一般而言
共線性來自於迴歸係數的估計式會受到獨變數之間的相關影響
公式請詳見迴歸書或是一般統計書
對於加入的連乘積項X1X2可能會造成共線性的問題
改為中心化的C1C2可能可以處理這問題
但也不是屢試不爽的好方法
剛剛隨便弄了個例子就發現中心化反而相關上升
我會從交互作用的意義來看中心化的好處
中心化(centering)
最簡單的想法就像計算共變數公式要去中心一樣
減掉平均數是為了控制兩變數在同一個起始點上
看兩變數之間的大小關係是否有所相關
有的話共變程度大 沒有的話共變程度小 > 也可以套至相關
那為何處理調節變項要去中心化？
我先來談調節變項的意義
簡單而言，調節變項是捕捉交互作用的效果
交互作用的效果可以稱為某獨變項影響依變項的效果
受到另一個讀變項的影響的效果
很饒口對吧？
那簡單一點來講
交互作用就是非線性的效果的一種
從定義把數學式子寫一寫就很簡單了
假設X1的對Y的預測能力（或是說效果影響等等都可以）受到X2的大小影響
也就是X2的大小 會影響到X1影響Y的效果或是預測能力
以上可以寫成
Y = a0 + (a1 + a2X2)X1 + a3X2
= a0 + a1X1 + a3X2 + a1a2X1X2
= B0 + B1X1 + B2X2 +B3X1X2
在數學上X1X2就是一個非線性的效果
我們可以說因為存在交互作用
因此單就線性模型Y = B0 + B1X1 + B2X2 不足夠
需要在加上X1X2的乘積項捕捉交互作用的效果
那如果不作中心化會怎樣？
此時B3會很難解釋！！
X1X2上升一單位
在沒有中心化處理下意義完全不明！
因為X1 X2 可能一個是身高 一個是5點量表
他們的乘積上升一單位？嗯？沒人知道那是啥鬼
但是中心化後
X1X2上升一單為的意義就是 兩者往共同方向移動了一單位
這就會讓研究者方便許多
那既然如此我就來在推導一下
其實中心化就只是針對X1X2的乘積項
至於X1 和 X2 其實是可以不需要中心化的
上一篇提到的那本回歸參考書（A先生＆W先生）也有提到這點
令C1為中心化過的X1 M1為X1的平均數
Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3C1C2
= b0 + b1C1 + b2C2 + b3C1C2 + b1M1 + b2M2
= b0'+ b1C1 + b2C2 + b3C1C2
也就是說 不管X1放的是原始資料還是中心化過的C1
這都只影響到截距項的估計
對其他係數不會任何影響～
詳細推導
請參考書籍
以上只是一點淺見
--
額外話
每次看到有人用工讀生時薪在徵統計分析幫手
都覺得囧
或許某些老師覺得統計就是點一點寫寫語法而已
沒啥了不起
就把資料丟進去把結果給他 然後他就可以寫paper 科科
※ 引述《coldwind0912 (隨風而逝~)》之銘言：
: 我是用一個比較簡單的方法來舉例
: 我在舉一個例子
: x1 x2 x1x2
: case1 6 9 54
: case2 2 3 6
: 假設x1 mean=4 x2 mean=6
: 所以中心化之後：
: x1' x2' x1'x2'
: case1 2 3 6
: case2 -2 -3 6
: 請問c大這樣一樣是合理的嗎？謝謝？
: 我還是不太懂你的意思:)
: 從你這個例子來說
: 當我們假定 X1 X2 都是一個 0~10 的分數 正代表滿意 負代表不滿意
: ※(其實負分 根本不存在因為尺度是0~10 不會有負)
: 在csae1的情況 當X1在中心化前是6 中心化後是2
: 對於X1的意義而言 不論是6還是2 都是代表滿意
: 可是 如果太執著數字大小 會誤認為 在中心化後 滿意度降低了(這是錯的觀念)
: 實際上 中心化前的6分 和 中心化後的2分 是一樣的
: 因為尺度已經從 0~10 變成 -4 ~ 6 (Mean=4，同減)
: 但是 首先 會有問題的是X1在case2的時候
: 在case2的情況 X1在中心化前是2 中心化後是-2
: 但是 對於X1的意義而言 不論是2還是-2 一樣都還是代表滿意(請見前述※處)
: 實際上 中心化前的2分 和 中心化後的-2分 是一樣的
: 因為尺度已經從 0~10 變成 -4 ~ 6 (Mean=4，同減)
: 最後 就是交互作用項的問題
: 基本上 這也是這個問題當中 最複雜的一點
: 因為 交互作用的說明 不是直接以數字的正負或大小 就能理解的
: 以CASE1 來說 你一定會問 中心化前的54 中心化後的6 為什麼會變化那麼多?
: 以CASE2 來說 你就是問 中心化前的6 和 中心化後 負負得正的6 是一樣的嗎?
: 其實 這裡我也很難以一個中文說法來表達
: 不過 基本上 對於中心化的議題 大部份都是參考Aiken&West(1991)的paper
: 或許這麼說好了(也許會有點言不及意 這是我個人的解讀)
: 不論是case1的54和6 或case2的6和6
: 基本上 它都是「反應X1和X2同時在Y上 高低程度的共同比例效果」
: 只是 在中心化前 會受平均數的影響
: 但是 就這個例子而言
: case1的x1和x2為6,9 case2為2,3 其實這比例效果是一樣的(中心化後都為6)
: 所以 回到問題 中心化的操作 或許很簡單 但是 中心化的意義 很複雜
: 有時 不要用正負、大小 就直接思考判斷
: 在交互作用的議題裡 這種直觀式的判斷 往往都是錯的
: 也希望有板上其他高手 來進一步說明或一討論這個中心化的問題吧 我的能力也有限
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.224.49.80
推 coldwind0912:推導詳細 先給推 尤其是"交互作用是非線性關係" 10/07 21:52
→ coldwind0912:只是 對於前述 中心化與共線性無關之觀點 尚加保留 10/07 21:53
→ coldwind0912:我個人不敢這麼斬釘截鐵 只是我的確有聽聞這個說法 10/07 21:53
→ coldwind0912:但就當前在學術paper的呈現而言 10/07 21:54
→ coldwind0912:中心化 確實是回應共線性爭議的權宜之計 10/07 21:55
→ Prozac:嗯 如果是就相乘項和其他變數共線性的問題 去中心化的確是 10/07 21:59
→ Prozac:我想我前面是指其他變數的共線性問題 不過這樣寫實在不好 10/07 22:00
→ Prozac:感謝你的提醒！ 10/07 22:01
推 wlsherica:推~ 也推最後一段 10/07 22:30
→ Prozac:樓上似乎也是常在pt板用統計當關鍵字搜尋的 哈哈 10/07 22:42
推 wlsherica:XD 觀賞一下現在的價位嘛 10/07 22:46
→ bmka:你中間的說法似乎把centering跟standardization搞混了 10/08 07:16
→ chenyutn:是說會sem時薪一百的那篇文嗎 XD 10/08 08:34
→ coldwind0912:原來大家都在討論 後站大學那篇 會SEM時薪100的文 XD 10/08 10:35
→ coldwind0912:回b大 對截距而言 中心化也是標準化的其中一種方法吧 10/08 10:38
→ bmka:?? 10/08 10:47
→ bmka:你這句話邏輯怪怪的 10/08 10:48
→ bmka:Are you sure what you are talking about? 10/08 10:50
推 evilove:我也有搞混，為什麼減去平均數能稱為標準化？ 10/08 10:57
→ coldwind0912:對截距而言... 10/08 11:31
→ Prozac:中間哪邊的說法？ B大可以講詳細點嗎？ 10/08 11:43
→ Prozac:標準化包涵中心化的效果 不過後者並沒有調整尺度 10/08 12:07
→ Prozac:不知道B大是不是指起跑點那句話 10/08 12:09
→ coldwind0912:標準化&中心化都是讓截距歸零 但標準化還去除了單位 10/08 12:15
→ bmka:"X1X2上升一單位 在沒有中心化處理下意義完全不明！" 10/08 19:45
→ bmka:這段話開始,你指的應是標準化,而不是單純的中心化 10/08 19:45
→ bmka:"標準化&中心化都是讓截距歸零"..沒這種說法吧... 10/08 19:49
→ bmka:c大, 所以中心化不是標準化 10/08 19:51
→ Prozac:X1X2上升一單位 和有沒有標準化不影響吧 1單位就是0變1 10/08 20:01
→ Prozac:不過兩者尺度差很多時 乘積也實在不好解釋 10/08 20:09
→ bmka:如果你不是在談標準化,何必舉單位不同的例子? 10/08 20:26
→ bmka:還有"兩者往共同方向移動了一單位"這句話需要再解釋 10/08 20:29
→ bmka:否則會有誤解 10/08 20:30
→ Prozac:嗯 我想不是DUMMY VARIBLE 相乘項係數都不是很好解釋 10/09 00:07
→ Prozac:感謝B大的指教 剛作了些小模擬 要解釋相乘項實在不容易 10/09 00:09
→ coldwind0912:我覺得 P大的那段說明並不會令人搞混呀.... 10/09 00:09
→ coldwind0912:對於單位不同的變項 使用標準化做資料調整固然沒錯 10/09 00:10
→ coldwind0912:但是 依照P大例子 其實中心化就足以進行解釋 10/09 00:12
→ coldwind0912:我個人是覺得 不必使用到標準化 10/09 00:12
→ coldwind0912:只是 標準化涉及去除單位 有時 失去單位未必利於解釋 10/09 00:14
→ coldwind0912:至於 有關兩種方法都涉及"讓截距歸零"的說法... 10/09 00:15
→ coldwind0912:基本上 會在此討論中的人 都明白中心化不等於標準化 10/09 00:16
→ coldwind0912:但是 標準化的過程 一定經過中心化 這應該不需要爭了 10/09 00:17
→ coldwind0912:但如同前述 標準化去除了單位 未必有利於資料的解釋 10/09 00:19
→ coldwind0912:而且 對於某些測量尺度而言 截距本身就難以解釋 10/09 00:20
→ coldwind0912:如果在中心化或標準化的選擇上 更應該謹慎選擇.... 10/09 00:21
既然大家都聊這麼高興
我就來讓所謂中心化會讓研究者更好解釋這件事具象化一點
假設樣本數20
X1為滿意度五點量表（平均數3.15）
X2為身高（平均數164.68）
甲的身高是136.8 滿意度是1
乙的身高是136.4 滿意度是5
X1X2（甲） 為 136.8
X1X2（乙） 為 682.1
中心化
C1C2（甲） 為 -52.29
C1C2（乙） 為 59.95
兩者都可以補抓一個事實
當身高越高（低）滿意度約高（低）相乘積越大
而反之身高越高（低）滿意度越低（高）則會越小
但是中心化可以讓這件事情變得更極端
從資料來看甲乙的X1X2只有高低之分（皆為正數）
但C1C2卻是一正一負
事實上X1X2的資料無法給予太多資訊
因此再解釋上
我們可以很確定C1C2代表的是一種"共變"的指標
X1X2則沒有辦法
其實也不用講這麼複雜想想共變數的定義就知道了（汗）
附上資料讓各位參考看看
X1 X2 C1 C2 X1X2 C1C2
[1,] 4 181.29 0.85 16.606 725.16 14.1151
[2,] 4 182.36 0.85 17.676 729.44 15.0246
[3,] 5 176.17 1.85 11.486 880.85 21.2491
[4,] 4 145.14 0.85 -19.544 580.56 -16.6124
[5,] 1 163.05 -2.15 -1.634 163.05 3.5131
[6,] 3 176.93 -0.15 12.246 530.79 -1.8369
[7,] 3 157.06 -0.15 -7.624 471.18 1.1436
[8,] 4 131.96 0.85 -32.724 527.84 -27.8154
[9,] 5 196.84 1.85 32.156 984.20 59.4886
[10,] 1 196.80 -2.15 32.116 196.80 -69.0494
[11,] 1 163.98 -2.15 -0.704 163.98 1.5136
[12,] 4 181.44 0.85 16.756 725.76 14.2426
[13,] 3 168.90 -0.15 4.216 506.70 -0.6324
[14,] 4 181.92 0.85 17.236 727.68 14.6506
[15,] 5 136.42 1.85 -28.264 682.10 -52.2884
[16,] 4 144.32 0.85 -20.364 577.28 -17.3094
[17,] 3 138.78 -0.15 -25.904 416.34 3.8856
[18,] 2 144.94 -1.15 -19.744 289.88 22.7056
[19,] 2 188.58 -1.15 23.896 377.16 -27.4804
[20,] 1 136.80 -2.15 -27.884 136.80 59.9506
看看資料應該就很明白我想表達的意含了
我想這就是我認為中心化會比較好解釋的理由
至於標準化那件事
X1X2有無標準化都只會影響係數估計值
對R SQUARE和係數檢定都不會有影響
我覺得這就取決於研究者的習慣即可
以上是拙劣的鋪陳 感謝耐心看完的板友
※ 編輯: Prozac 來自: 61.224.49.80 (10/09 01:00)
推 coldwind0912:P大 辛苦了.... 10/09 01:08
→ Prozac:我一定是不想寫作業才這麼認真回文 唉唉 10/09 01:09
→ coldwind0912:其實 從sample 9.10.15.20 的比較就可以明白原理 XD 10/09 01:10
→ Prozac:反正也只是複製貼上而已哈哈 冷風大我要出門去 有空再聊啦 10/09 01:12
→ bmka:看不太懂你想表達什麼...59.95 vs -52.29比682.1 vs. 136.8 10/09 03:05
→ bmka:極端? 極端在哪裡?只是因為有負號嘛..極端好像不該是這樣定義 10/09 03:06
→ bmka:為什麼C1C2代表的是一種"共變"的指標,X1X2則沒有辦法? 10/09 03:07
→ bmka:沒有辦法是什麼意思? 10/09 03:08
→ Prozac:跟正負號無關 這跟共變數要減平均數的道理一樣 10/09 03:11
→ bmka:你應該拿Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3C1C2跟 10/09 03:11
→ bmka:Y = a0 + a1X1 + a2X2 +a3X1X2來比較然後進行你的論述 10/09 03:12
→ bmka:拿它來跟Y = d0 + d1C1 + d2C2 + d3C1C2比沒什麼意思 10/09 03:14
→ bmka:還有,你的regression model都寫錯了(包括我上面剪貼/編輯過 10/09 03:15
→ Prozac:如果B大看一下所附模擬資料 或許能抓到我的意思 10/09 03:15
→ bmka:的都是不正確的) 10/09 03:15
→ bmka:P大, 不是要故意找麻煩啦.不過如果這是篇報告的話, 10/09 03:18
→ bmka:會被我改得滿江紅 10/09 03:18
→ Prozac:資料點20 X1和X2同時很小 C1C2能反應出這共變程 X1X2則否 10/09 03:19
→ bmka:寫文章不能用一堆"形容詞"卻給不出定義來 10/09 03:20
→ Prozac:這不是報告 只是閒聊 但也很高興你的指教 10/09 03:21
→ bmka:X1, X2同時很小但是X1*X2看不出很小??? = = 10/09 03:21
→ Prozac:如果你指的寫錯是指Y應該是Y hat 那我承認這是很粗略的寫法 10/09 03:22
→ bmka:這不是"簡單疏失"而已(笑) 10/09 03:24
→ Prozac:X1X2同時小 X1X2當然小 = = 但是C1C2則的值卻會很大 10/09 03:24
→ Prozac:所以我說C1C2反應共變的效果 X1X2則否(除非平均數本來就零) 10/09 03:26
→ bmka:請定義什麼叫反應共變的效果 10/09 03:27
推 coldwind0912:以樣本9和樣本20作參照 10/09 08:57
→ coldwind0912:當X1,X2皆大時 X1X2極大(984.20) 但C1C2為59.49 10/09 08:57
→ coldwind0912:X1,X2皆小時 X1X2極小(136.80) 但C1C2仍為59.95 10/09 08:58
→ coldwind0912:由此可見 當X1,X2反應趨勢一致(皆大or皆小)時 10/09 08:58
→ coldwind0912:C1C2的effect是差不多的 但X1X2是不一樣的 10/09 08:59
→ coldwind0912:但加入樣本10和樣本15作參照時更可以發現 10/09 08:59
→ coldwind0912:當X1,X2呈現一大一小時 X1X2並不穩定 10/09 09:00
→ coldwind0912:分別為196.80、682.10 10/09 09:00
→ coldwind0912:但兩者在C1C2時卻也相對接近-69.05、-52.29 10/09 09:00
→ coldwind0912:或許這就是P大所謂"反應共變的效果" 10/09 09:01
→ coldwind0912:如同我前述的用詞 "反應趨勢一致" 10/09 09:01
→ coldwind0912:但這個現象的詞 在中文裡或許尚未有一致的用詞 10/09 09:01
→ coldwind0912:若b大對於這個現象有精準的用詞與定義 願聞其詳 10/09 09:01
→ coldwind0912:題外話一點 這應該是大家的閒聊、討論或交流 10/09 09:03
→ coldwind0912:不知道 為何b大要以作業批改的心態視之 10/09 09:04
→ coldwind0912:畢竟 我覺得不論是我或P大 post這些想法或為板友釋疑 10/09 09:07
→ coldwind0912:應該都不是在交作業給b大或眾板友批閱的吧!? 10/09 09:07
→ bmka:不嚴謹的說法不能討論批評嗎? 閒聊出門左轉有chat版 10/09 09:23
→ coldwind0912:或許 指正、批評、挑語病 三者需要有個明確的定義 XD 10/09 11:08
我覺得b大提的點跟對符號跟用字的精確，
都是我在描述事情的缺點，
所以我非常高興b大能有所指教！
不過我昨天凌晨實在有點不行了
共變的程度這不是很精確的用詞
我的原意只是希望板友能概念上的抓到我想講的東西
所以用了一些形容詞和詞彙等等
我試著看看能不能盡量簡截的把共變的程度作一個定義：
「定義為兩變數減去個別期望值的乘積，
正值表示兩變數大於或小於個別期望值，
負值表示有一變數大於其期望值及一變數小於其期望值，
此乘積的期望值等同於兩變數的共變異數(Covariance)。」
意義上，
樓上C大的舉例其實就很清楚明瞭了。
操作上，
將此乘積放入迴歸模型當作獨變項，其迴歸係數的檢定結果，
能幫助研究者瞭解，
在給定資料下，研究者認為存在交互作用，是否有統計上的支持。
不過我自己的心得是，很多人對符號並不敏感
需要多用舉例或是一些詞彙來說明會比較易懂
當然如果我又開始自嗨而用字亂七八糟不嚴謹時
希望往後b大也能不吝提醒！
※ 編輯: Prozac 來自: 114.43.117.75 (10/09 13:24)
推 evilove:b大在我的推文建議"把 x1*x2當成另一個變數z, 對新變數做 10/09 14:22
→ evilove:中心化"如果用這個方法模擬P大的資料，結果似乎不一樣。 10/09 14:24
→ evilove:(case9, case20) 會變成 (464.5225, -382.878) ？ 10/09 14:26
推 coldwind0912:以我的經驗來說 P大的做法PAPER引用很普遍 10/09 14:30
→ coldwind0912:b大的作法 我倒是第一次聽到 不知道引述自何處 10/09 14:31
→ coldwind0912:而且 我以過去自己一篇已發表的paper數據進行實作 10/09 14:42
→ coldwind0912:原本的模式我就是使用 X1、X2、C1C2 → Y 10/09 14:43
→ coldwind0912:但改以 X1,X2,Z(centering後) → Y 結果估計值都不同 10/09 14:45
→ bmka:y大, 那你最好檢查一下你的程式 10/09 19:44
→ bmka:sorry, 是 c大 10/09 19:45
→ bmka:BTW, 我的建議是 X1,X2,X1*X2各自做centering,不是只有X1X2做 10/09 19:47
→ bmka:其實想法很簡單, 就是利用centering去處理collinearity(笑) 10/09 19:55
→ bmka:(假裝不知道它們之間的關係),不過,這只能避免一點計算上的 10/09 20:24
→ bmka:小小問題...好處是除了截距項外其他係數不會變 10/09 20:31
→ bmka:所以,我並沒有回答e大問的"如何處理負值"的問題 XD 10/09 20:33
→ bmka:對C1C2比X1X2在變數本身的解釋上有意義的看法,我不反對 10/09 20:53
→ bmka:但是用C1C2的目的最主要還是想解決collinearity的問題 10/09 20:58
→ bmka:Interaction term不能單獨解釋,要連main effects一起解釋 10/09 21:02
→ bmka:才會完整 10/09 21:03
→ bmka:所以e大舉的例子裡2*3=6,-2*-3=6,單看interaction的值似乎 10/09 21:26
→ bmka:不合理,但是如果再考慮(2, 3), (-2,-3)的不同就不會太奇怪了 10/09 21:27
→ bmka:可以用X1={-1,1}, X2={-1,1},畫個2X2 table來看就清楚了 10/09 21:28
推 bluechuchy:基本上，去中心化的用意在還原真實現象中的反應一致性 10/12 18:19
→ bluechuchy:趨勢，只是將數字上所膨脹的「虛假」還原真實「程度」 10/12 18:21
→ bluechuchy:b大還是去把Aiken&West(1991)抓出來看比較實際 10/12 18:23
→ bluechuchy:這就是為什麼2*3=6,-2*-3=6 在程度意義上為「相同」 10/12 18:35
→ bluechuchy:這不就是運用GLM方法上大家所最樂見的事嗎? 10/12 18:36
→ bluechuchy:(2, 3)→兩個都高，(-2,-3)→兩個都低 10/12 18:38
→ bluechuchy:所以，兩個相乘後皆為6，其實他們的趨勢意義上是相同的 10/12 18:40
→ bluechuchy:不知道這樣的解釋是否夠白話? 10/12 18:42
→ bmka:不如去看看 Echambadi and Hess (2007).Mean-Centering Does 10/13 07:39
→ bmka:Alleviate Collinearity Problems in Moderated Multiple 10/13 07:40
→ bmka:Regression Models. 10/13 07:40
→ bmka:中心化後的design matrix其實還是原來design matrix的 10/13 07:42
→ bmka:linear transformation. 所以covariate vector space所展開 10/13 07:42
→ bmka:的空間是一樣的,也就是說fitted model根本都是一樣的 10/13 07:43
→ bmka:做中心化只是讓新的design matrix 的cross-prodct在求矩陣 10/13 07:44
→ bmka:的反距陣的數值計算比較穩定(當cross-product matrix接近 10/13 07:45
→ bmka:singular的情況),也就是說只有在共線性非常強的時候才有可能 10/13 07:47
→ bmka:看到其效果,所以中心化其實純粹是解決數值運算問題 10/13 07:48
→ bmka:而不是fit了一個新的model... 10/13 07:49
→ bmka:請不要直接比較中心化(不管哪一種方式)跟沒有中心化的 10/13 07:55
→ bmka:regression table,然後說這兩個方法得到不一樣的結果 10/13 07:56
→ bmka:要記得,展開整理過再比,那麼你會發現不論是係數或是SE的估計 10/13 07:57
→ bmka:都是一模一樣(除了在很極端的case碰到求反矩陣的數值問題) 10/13 08:01
→ bmka:至於(X1-m1)*(X2-m2)比X1*X2解釋上是否比較有意義 10/13 08:10
→ bmka:我沒意見(也從沒反對過) 10/13 08:11
→ bmka:上面指的是單獨一項變數來看...但最終要解釋interaction 10/13 08:20
→ bmka:還是必須要把X1, X2納進來一起解釋 10/13 08:21
→ ADORIAN:上面最後兩句話是討論串的重點啦~ 直接去解釋 X1*X2 或 10/13 14:11
→ ADORIAN:(X1-m1)*(X2-m2)的數值都是無意義的. 10/13 14:12
推 evilove:b大的title少了一個字Mean-Centering Does Not Alleviate 10/13 14:33
→ evilove:謝謝各位給予建議的朋友們，現在觀念清楚多了^___^ 10/13 14:34
→ bmka:oops, sorry....少一個NOT差很多.... XD 10/13 19:49
→ Prozac:水喔 文獻終於來了 我會找來看看 謝啦B大 10/14 01:19
→ Prozac:哈哈 PAPER裡的報表有很可愛的解說箭頭 10/14 01:21