為什麼這篇二次函數最小值鄉民發文收入到精華區：因為在二次函數最小值這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者NCWW (MM>N)看板Math標題Re: [中學] 二元二次函數求極值時間Sat Ja...
二次函數最小值 在 Spark Light 工作坊 Instagram 的精選貼文
2021-08-18 20:27:06
｜Spark Light工作坊｜ 📍｜主題｜ ▫️我該選數A還是數B？ 📍｜前情提要｜ ▫️新課綱的數學在高二時被分成了數A跟數B，不僅學習內容有所不同，在學測上也會被分成兩科分開測驗。那麼兩者的區別是什麼呢？而自己又應該選擇哪一個呢？今天就讓小編我來讓大家認識新課綱的數學吧！ 📍｜新課綱的數...
※ 引述《yosifu ()》之銘言：
: 如題，求2*x^2+y^2+(2*x-y+3)^2 的最小值。
: 我把它全部乘開然後整理，不過好像觀察不出什麼結論，
: 想請問是否有其他的方法可以判斷？
: 感謝！
如果對數字的直覺很好，可以用科西不等式
但既然你已經乖乖展開了，那不妨就老老實實地配方吧
一元二次函數
Au^2 + 2Bu + C
= A(u+B/A)^2 + C - B^2/A
當 u = -B/A 時
會有最小值 C - B^2/A
其實，二元二次函數也是一樣的
原式展開 = 6x^2 + (-4)xy + 2y^2 + 12x + (-6)y + 9
你可以把x和y看成一組矩陣
令 u = [ x y ]' (':代表轉置矩陣)
A = [ 6 -2 ] (讓A成為對稱矩陣)
[ -2 2 ]
B = [ 6 -3 ]'
C = [ 9 ]
原式 = u'Au + 2B'u + C
= ( u + A^(-1)B )'A( u + A^(-1)B ) + C - B'A^(-1)B
當 u = -A^(-1)B 時
會有最小值 C - B'A^(-1)B
仔細瞧瞧
這和前面提到的一元二次配方法，一模一樣！！
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舉一反三
你應該想想以下三個問題
(1) 三元以上也可以用一樣的方法嗎?
(2) 為什麼要強調A是對稱矩陣?
(3) 有最小值的條件是什麼?
有最大值的條件又是什麼?
有沒有可能既沒有最小值也沒有最大值?
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→ yosifu :學到一個新方法！！謝謝你的教學 01/12 00:27