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[爆卦]二次函數最大值公式是什麼？優點缺點精華區懶人包

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  • 台灣物聯網實驗室 IOT Labs

    二次函數最大值公式 在 台灣物聯網實驗室 IOT Labs Facebook 的最讚貼文

    2021-01-05 10:44:35
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    用深度神經網路求解「薛丁格方程式」，AI 開啟量子化學新未來

    作者 雷鋒網 | 發布日期 2021 年 01 月 02 日 0:00 |

    19 世紀末，量子力學的提出為解釋微觀物質世界打開了一扇大門，徹底改變了人類對物質結構及相互作用的理解。已有實驗證明，量子力學解釋了許多被預言、無法直接想像的現象。

    由此，人們也形成了一種既定印象，所有難以理解的問題都可以透過求解量子力學方程式來解決。

    但事實上能夠精確求解方程式的體系少之又少。

    薛丁格方程式是量子力學的基本方程式，即便已經提出七十多年，它的氫原子求解還是很困難，超過兩個電子的氫原子便很難保證精確度。

    不過，多年來科學家們一直在努力克服這一難題。

    最近，來自柏林自由大學（Freie Universität Berlin） 的科學團隊取得了突破性進展，他們發表的一篇名為《利用深度神經網路解電子薛丁格方程式》的論文，登上《Nature Chemistry》子刊。

    論文明確指出：利用人工智慧求解薛丁格方程式基態解，達到了前所未有的準確度和運算效率。該人工智慧即為深度神經網路（Deep-neural-network），他們將其命名為 PauliNet。

    在介紹它之前，我們先來簡單了解薛丁格方程式。

    什麼是薛丁格方程式？

    薛丁格方程式（Schrödinger Equation），是量子力學中的一個基本方程式。又稱薛丁格波動方程式（Schrödinger Wave Equation），它的命名來自一位名為埃爾溫·薛丁格（Erwin Schrödinger）的奧地利物理學家。

    Erwin 曾在 1933 年獲得諾貝爾物理學獎，是量子力學奠基人之一。他在 1926 年發表的量子波形開創性論文中，首次提出了薛丁格方程式。它是一個非相對論的波動方程式，反映了描述微觀粒子的狀態隨時間變化的規律。

    具體來說，將物質波的概念和波動方程式相結合建立二階偏微分方程式，以描述微觀粒子的運動，每個微觀系統都有一個相應的薛丁格方程式，透過「解方程式」可得到波函數的具體形式以及對應的能量，從而了解微觀系統的性質。

    薛丁格方程式在量子力學的地位，類似牛頓運動定律在經典力學的地位，在物理、化學、材料科學等多領域都有廣泛應用價值。

    比如，應用量子力學的基本原理和方法研究化學問題已形成「量子化學」基礎學科，研究範圍包括分子的結構、分子結構與性能之間的關係；分子與分子之間的相互碰撞、相互作用等。

    也就是說，在量子化學，透過求解薛丁格方程式可以用來預測出分子的化學和物理性質。

    波函數（Wave Function）是求解薛丁格方程式的關鍵，在每個空間位置和時間都定義一個物理系統，並描述系統隨時間的變化，如波粒二象性。同時還能說明這些波如何受外力或影響發生改變。

    以下透過氫原子求解可得到正確的波函數。

    不過，波函數是高維實體，使捕獲特定編碼電子相互影響的頻譜變得異常困難。

    目前在量子化學領域，很多方法都證實無法解決這難題。如利用數學方法獲得特定分子的能量，會限制預測的精確度；使用大量簡單的數學構造塊表示波函數，無法使用少數原子進行計算等。

    在此背景下，柏林自由大學科學團隊提出了一種有效的應對方案。團隊成員簡‧赫爾曼（Jan Hermann）稱，到目前為止，離群值（Outlier）是最經濟有效的密度泛函理論（Density functional theory ，一種研究多電子體系電子結構的方法）。相比之下，他們的方法可能更成功，因在可接受計算成本下提供前所未有的精確度。

    PauliNet：物理屬性引入 AI 神經網路
    Hermann 所說的方法稱為量子蒙地卡羅法。

    論文顯示，量子蒙地卡羅（Quantum Monte Carlo）法提供可能的解決方案：對大分子來說，可縮放和並行化，且波函數的精確性只受 Ansatz 靈活性的限制。

    具體來說，團隊設計一個深層神經網路表示電子波函數，這是一種全新方法。PauliNet 有當成基準內建的多參考 Hartree-Fock 解決方案，結合有效波函數的物理特性，並使用變分量子蒙地卡洛訓練。

    弗蘭克‧諾（Frank Noé）教授解釋：「不同於簡單標準的數學公式求解波函數，我們設計的人工神經網路能夠學習電子如何圍繞原子核定位的複雜模式。」

    電子波函數的獨特特徵是反對稱性。當兩個電子交換時，波函數必須改變符號。我們必須將這種特性構建到神經網路體系結構才能工作。

    這類似包立不相容原理（Pauli’s Exclusion Principle），因此研究人員將該神經網路體系命名為「PauliNet」。

    除了包立不相容原理，電子波函數還具有其他基本物理特性。PauliNet 成功之處不僅在於利用 AI 訓練數據，還在將這些物理屬性全部整合到深度神經網路。

    對此，FrankNoé 還特意強調說：

    「將基本物理學納入 AI 至關重要，因為它能夠做出有意義的預測，這是科學家可以為 AI 做出有實質性貢獻的地方，也是我們關注的重點。」

    實驗結果：高精確度、高效率

    PauliNet 對電子薛丁格方程式深入學習的核心方法是波函數 Ansatz，它結合了電子波函數斯萊特行列式（Slater Determinants），多行列式展開（Multi-Determinant Expansion），Jastro 因子（Jastrow Factor），回流變換（backflow transformation,），尖點條件（Cusp Conditions）以及能夠編碼異質分子系統中電子運動複雜特徵的深層神經網路。如下圖：

    論文中，研究人員將 PauliNet 與 SD-VMC（singledeterminant variational，標準單行列式變分蒙地卡羅）、SD-DMC（singledeterminant diffusion，標準單行列式擴散蒙地卡羅）和 DeepWF 進行比較。

    實驗結果顯示，在氫分子（H_2）、氫化鋰（LiH）、鈹（Be）以及硼（B）和線性氫鏈 H_10 五種基態能量的對比下，PauliNe 相較於 SD-VMC、SD-DMC 以及 DeepWF 均表現出更高的精準度。

    同時論文中還表示，與專業的量子化學方法相比──處理環丁二烯過渡態能量，其準確性達到一致性的同時，也能夠保持較高的計算效率。

    開啟「量子化學」新未來

    需要說明的是，該項研究屬於一項基礎性研究。

    也就是說，它在真正應用到工業場景之前，還有很多挑戰需要克服。不過研究人員也表示，它為長久以來困擾分子和材料科學的難題提供了一種新的可能性和解決思路。

    此外，求解薛丁格方程式在量子化學領域的應用非常廣泛。從電腦視覺到材料科學，它將會帶來人類無法想像的科學進步。雖然這項革命性創新方法離落地應用還有很長的一段路要走，但它出現並活躍在科學世界已足以令人興奮。

    如 Frank Noé 教授所說：「相信它可以極大地影響量子化學的未來。」

    附圖：▲ Ψ 表示波函數。

    資料來源：https://technews.tw/2021/01/02/schrodinger-equation-ai/?fbclid=IwAR340MNmOkOxUQERLf4u3SK0Um6VQVBpvEkV_DxyxIIcUv8IP88btuXNJ6U

  • 媽媽監督核電廠聯盟

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    2020-12-08 09:19:00
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    綠能售電業應該怎麼定位自己的價值？

    文：Tony Yen / 德國弗萊堡大學再生能源工程與管理碩士、媽媽監督核電廠聯盟特約撰述

    自從去年6月台電開放再生能源電廠餘電躉售以後，台灣名義上已經允許綠能發電業者和售電業者自由尋找客戶、開展綠電交易；目前為止，也有諸多相關新聞常常刊出。

    然而，新聞上出現的綠電交易，多屬大型電廠和用電大戶之間的一對一轉供合約。這是否表示小用戶和小型綠能電廠較不適合進行綠能交易？或者，小用戶對小電廠的多對多轉供，是否才是綠能售電業接下來應該著力更多的商業棲位？

    規模經濟與範疇經濟決定了綠能售電業的基礎價值

    目前，小型綠能發電廠受限於電業法對自用發電設備的不合理限制，在登記成為發電業之前無法直接進行轉供。撇開這項讓小電廠卻步於綠電交易市場之外的法規限制，多對多轉供的尺度，通常存在於成本曲線受規模經濟和範疇經濟影響的區間中：各個單一小用戶的資訊取得和交易成本占比太高，加總起來便大幅提升多對多轉供得以成立的門檻。

    此時，如果存在一個以聚合商角色自居的綠能售電業，協助分析、調度不同小用戶和小電廠的發用電特性，並居中協調促成交易進行，便可以有效降低前述的各種成本，讓多對多轉供得以在更小的社會總成本下發生。換句話說，綠能售電業在聚合了各個小用戶和小電廠之後，產生了規模經濟和範疇經濟。這就是綠能售電業進行多對多轉供時，所具有的基礎價值（見圖一的Fundamental Aggregation）。

    不成熟綠電市場決定了綠能售電業額外的轉型價值

    然而在能源轉型過程中，綠能售電業還有另外一種隨著政策和市場成熟度而改變的動態價值。一個成熟的綠能交易市場，應該是各個用戶、電廠、和其他彈性資源以接近即時的時間尺度，進行參與者能自由指定方式的交易；台灣現在可行的綠電交易顯然遠非如此（台電的轉供合約限制了綠電交易的參與者一次必須至少連續買一個月的綠電，且轉供的綠電分配方式受台電提供的公式所限，無法自由進行分配）。

    於是，在轉型過程中，綠能售電業在處理多對多轉供時，便有了額外的角色：它們必須熟悉當前各種可行的交易形式，並搓合用戶和電廠各方產出最有利的契約。由於在不成熟的綠電市場中，特定條件下買賣各方無法很容易達成對社會總體最佳的交易結果，這當中所需要的額外資訊和技術門檻，便是綠能售電業所具有的轉型價值（見圖一的Transitory Aggregation）。

    台灣綠能售電業目前的轉型價值

    我們以目前台電提供的轉供契約為例，說明綠能售電業的轉型價值為何存在。圖二是兩個用戶和兩個太陽能電廠在兩個時段中的發用電資料，以及它們各自在交易過程中的最高願付價格／最低願售價格。為了簡化模型，我們假設太陽能電廠的業者在簽約時，無法自由切割其電廠，但兩個用戶可自由選擇自兩電廠購買綠電的比例。若用戶i自電廠j的購買綠電比例計為r_ij，因為r_11 + r_12 = r_21 + r_22 = 1，底下我們就把r_i1簡計為r_i。

    在這樣的模型條件下，社會總效益增量、用戶1效益增量、用戶2效益增量各函數的圖形如圖三所示。我們可以看到，社會總效益在左上／右下兩個端點都有極值，但這兩個最佳解都無法同時讓兩個用戶都有最大的個別效益增量；因此在實際商業談判過程中，並不能保證買賣四方的契約結果，能夠達到對社會整體而言的最佳位置附近（事實上，從賽局理論可推知，此模型的均衡點發生在r_1=0.6、r_2=0.7的時候）。更進一步，小用戶和小電廠若自力尋求買／賣家時，不一定能馬上找到最適合簽訂多對多轉供契約的合作對象，也可能會讓實際契約更偏離最佳解。如果小用戶和小電廠能事先加入綠能售電業的聚合池、並且同意一套公正且有效率的媒合規則，前述不成熟綠電交易市場產生的缺失，便可被盡力避免。

    PS. 編按： Via Tony Yen : "日前我發現模型假設可能不合實情（用戶不會找願售價格高於自己願付價格的電廠交易），個別用戶的效益函數計算上也忘了考慮購買綠電的價格，因此重新設計模型並計算結果。“ （新修正的模型請見回應欄中的圖表。）

    ♡

  • 范疇文集

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    2020-05-03 07:11:06
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    川普可能四週內出重拳

    我估計，川普總統可能在四周之內會對中南海出重拳，第一步動作甚至可能在兩週內。請注意，這兒說的的是「中南海」（或中共），而不是「習近平」。原因有兩點：美國還需要習近平來維持住中國經濟的基本運轉，以免美國的「七傷拳」傷己太深；其二，白宮還未必完全清楚中共黨內鬥爭的量子糾纏狀態，打錯重點恐怕帶來無可預判的後果，於己不利。至於，中共本身會不會因為川普的重拳而發生不可預知的變化，那就是另外一個議題了。

    川普即將出重拳的直接跡象有三個：白宮記者會中親口說出已經看到病毒出自武漢實驗室的證據，其次，在對路透社的採訪中直接表示已經準備與中國脫鉤，再來，年底11月的民主黨對手拜登已經明顯將中共議題列為主打議題，試圖和川普比賽「誰比較不親共」。

    大局背景也已然迫人而來：1 .第一階段的贸易協定中的採購及金融開放，已經事實上不可能；2. 全球疫情對經濟影響確定將至2021年甚至更久；3. 全球疫情的經濟損失超過50兆美元，全球索賠總金額接近100兆美元；4. 朝鮮可能的變局；5. 香港新任領導全面逮人；6. 中共不自量力加速推動數位人民幣企圖打擊美元霸權。

    而中南海方面，紅二代鬥爭已經進入「白刀子進紅刀子出」的炙熱。雖說過去曾有習派、江派、曾派、王派、團派等等說法，但事實上那是一種「你中有我、我中有你」的量子糾纏狀態，恐怕連這些當事人都說不清楚自己究竟屬於哪一派。總之，只要中共專政不倒，哪一派都有東山再起的機會。然而，近兩週發生的一連串事，顯示不站隊已是不可能的事了。

    先是公安部副部長孫力軍落馬，這是比去年前公安部副部長、被由法國騙回的國際刑警組織（InterPol）主席孟宏偉落馬還要大得多的事，因為孫實質上掌握港澳台及許多西方國家的諜報任務，並涉及武漢P4實驗室。然後與孫有著千絲萬縷關係的司法部長傅政華落馬。孫及傅，都被懷疑是近年來核心爆料的深喉嚨，尤其孫的落馬時間正值武漢P4實驗室關鍵人員脫逃法國的新聞，使得人懷疑下一個是不是公安部長孟建柱甚至王岐山。

    一周前在傳出朝鮮金正恩傳言的同時，中國東北重兵調動，又逢習近平莫名其妙造訪西安傍的秦嶺並發出西進之言，內憂外患之下，傳出習氏的「第18套劇本」為不惜「攬炒大局」、必要時避遷西安之風言，其實也並不為過。

    川普出重手，次序想來是先經濟，再政治，最後不得已才會考慮軍事。經濟牌他手上一大把：加稅、調查中資在美上市公司會計真實性（總市值1.2兆美元）、敦促國會加速立法查處中共高官及親屬在美不當資產、凍結中國美債、中止香港獨立關稅地位、部份限制中國美元結算等等。
    政治方面，如聯合俄國對中（已經發生），干預朝鮮半島局勢，放寬美國法院對疫情索賠條件、率領五眼聯盟國向中疫情索賠，全力支持台灣國際地位等等。

    軍事威嚇上，如海軍集結南海、東海、台海，加速在亞洲部署第三套薩德系統。單從軍事角度，我一向認為美國的策略是南海重於台海，因為畢竟南海是咽喉，台海只是咽喉的一條支氣管。但是，倘若從政治角度出發，或者發生中共軍事碰瓷事件、或者朝鮮發生不測之變，優序調整也並非不可能。

    去年七月新書《2022 – 台灣最後的機會窗口》中，我認為世界大局變遷，拖不過2022年。但病毒疫情，無論是無意還是有意，把日程提前了一至二年。該書中提出了台灣應變的十二字箴言 - （對美國）不掉隊、（對中國）不插隊、（對台灣政治）除肉桶、（對台灣社會）強社區。這十二字依然有效，但恐怕更急迫了。

    有朋友認為，在我提出這十二字之後，香港先來插隊，然後病毒來插隊，現在朝鮮來插隊，台灣的次序應該往後排了。但我不同意這看法。我五年前就說過，這世界上已經沒有「兩岸關係」，只有「美中關係」。無論川普的重手如何出招、組合優序如何，台灣都是美中關係公式中的連動函數；任何其他問題發生，土石流都會到台灣並首當其衝，台灣不可能獨善其身觀戲。防身之術還是要想好，貴重物品還是要綁好。美國和中共，都會有至少18套劇本，台灣也至少應該有18套劇本。

    （本文原刊於 2020-05-03 蘋果日報）

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