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二次函數極值 在 辣媽英文天后 林俐 Carol Instagram 的最佳貼文
2021-07-06 05:58:15
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※ 引述《yosifu ()》之銘言：
: 如題，求2*x^2+y^2+(2*x-y+3)^2 的最小值。
: 我把它全部乘開然後整理，不過好像觀察不出什麼結論，
: 想請問是否有其他的方法可以判斷？
: 感謝！
如果對數字的直覺很好，可以用科西不等式
但既然你已經乖乖展開了，那不妨就老老實實地配方吧
一元二次函數
Au^2 + 2Bu + C
= A(u+B/A)^2 + C - B^2/A
當 u = -B/A 時
會有最小值 C - B^2/A
其實，二元二次函數也是一樣的
原式展開 = 6x^2 + (-4)xy + 2y^2 + 12x + (-6)y + 9
你可以把x和y看成一組矩陣
令 u = [ x y ]' (':代表轉置矩陣)
A = [ 6 -2 ] (讓A成為對稱矩陣)
[ -2 2 ]
B = [ 6 -3 ]'
C = [ 9 ]
原式 = u'Au + 2B'u + C
= ( u + A^(-1)B )'A( u + A^(-1)B ) + C - B'A^(-1)B
當 u = -A^(-1)B 時
會有最小值 C - B'A^(-1)B
仔細瞧瞧
這和前面提到的一元二次配方法，一模一樣！！
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舉一反三
你應該想想以下三個問題
(1) 三元以上也可以用一樣的方法嗎?
(2) 為什麼要強調A是對稱矩陣?
(3) 有最小值的條件是什麼?
有最大值的條件又是什麼?
有沒有可能既沒有最小值也沒有最大值?
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→ yosifu :學到一個新方法！！謝謝你的教學 01/12 00:27