麻煩大家 就是 算術平均數大於等於幾何平均數

謝謝

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親愛的
有時候, 你汲汲於追求你現在想要的
卻忽略了你真正需要的, 你真正想擁有的
身邊有很多事與物..可能都被你忽略了
快仔細去想想..多看看身邊的東西....
等到錯過了..你千萬分的後悔都來不及了

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◆ From: 219.91.112.74

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作者: hopeless (再見了我的快樂) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問如何證明算幾不等式？
時間: Thu May 8 22:24:01 2003

用反證吧

a+b<2[(ab)^1/2] 兩邊平方
a^2+2ab+b^2 <4ab 4ab移到左邊
a^2-2ab+b^2 <0
(a+b)^2 <0

a,b 屬於實數而且大於0
所以矛盾

所以可以得證算術平均數大於等於幾何平均數

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◆ From: 203.68.107.72

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作者: HCsword (下一決戰日 5/12) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問如何證明算幾不等式？
時間: Fri May 9 00:47:41 2003

應該不用反證吧....

令根號a,b為實數，可得由根號a,b構成的算式為實數（實數的封閉性）
實數的平方為正數或零

(根號a-根號b)^2大於等於0
a+b-2根號ab大於等於0
移項
a+b大於等於2根號ab
(a+b)/2大於等於根號ab

而根號a,b為實數的條件：a,b大於等於零

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◆ From: 140.112.212.117

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作者: HCsword (下一決戰日 5/12) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問如何證明算幾不等式？
時間: Fri May 9 00:53:32 2003

尚有另外一個方法，就是減減看

(a+b)/2-根號ab，配方後為(根號a-根號b)^2/2，而後討論ab的性質：
若ab小於零，則根號ab為虛數，我記得虛數是沒有大小之分的，
所以討論到大小，就有一個先決的條件是不討論虛數，
因此可得，在ab大於等於0的情形下，兩數的算幾不等式是成立的，
而在用數學歸納法，即可求得算幾不等式成立。

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◆ From: 140.112.212.117

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作者: johnwu0826 (AJ八代超帥) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問如何證明算幾不等式？
時間: Fri May 9 01:34:38 2003

算幾不等式的先決條件是
變數皆大於等於零
所以不用討論正負的問題

算幾不等式用數學歸納法證其實還蠻複雜的
在此發表一下

首先兩個變數的算幾不等式如上一位版友證的
還有一個方法是用幾何證的
太麻煩打了就先跳過

再來要證四個的算幾不等式
需要利用兩個的算幾不等式
證法如下
欲證:(a+b+c+d)/4大於等於(abcd)^(1/4)
pf:(a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2
大於等於{[(a+b)/2]*[(c+d)/2]}^(1/2)
大於等於{[(ab)^(1/2)]*[(cd)^(1/2)]}^(1/2)
=(abcd)^(1/4)

由上可知
2的冪次方個的算幾不等式
皆可用上述方法證明
要證8個 16個 ... 都可以
但必須依照2→4→8→16→32→...的順序
可用數學歸納法的想法得知2的冪次方的算幾不等式皆成立

接下來要證三個的
需要利用四個的
證法如下
欲證:(a+b+c)/3大於等於(abc)^(1/3)
pf:首先令k=(a+b+c)/3 => a+b+c=3k
則利用四個的算幾不等式可知:(a+b+c+k)/4大於等於(abck)^(1/4)
=>(3k+k)/4大於等於(abck)^(1/4)
=>k大於等於(abck)^(1/4)
兩邊同時四次方=>k^4大於等於abck
兩邊同約掉k=>k^3大於等於abc
兩邊同開三次方根=>k大於等於(abc)^(1/3)
=>(a+b+c)/3大於等於(abc)^(1/3) 得證

接下來要證五個的
證法我簡略點講
首先要令個變數k=(a+b+c+d+e)/5
接著利用8個算幾不等式可知:(a+b+c+d+e+k+k+k)/8大於等於(abcdekkk)^(1/8)
利用剛剛三個的方法慢慢化簡就可以得證

接下來證六個的
應該可以很清楚知道
首先要令變數k=(a+b+c+d+e+f)/6
接著在利用8個的算幾不等式如法炮製即可得證

證7個的也是利用8個的

再來應該可以很明顯看出
要證9個10個11個12個13個14個15個
皆須利用16個的證

因此可推得
若個數介於2^(n-1)到2^n之間的的算幾不等式
皆可用2^n個的算幾不等式證明

至於2的冪次方又都可以證出
因此再利用數學歸納法的想法
可以推得所有自然數個的算幾不等式皆成立

(以上變數皆大於等於0不在重述)

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作者: rath (～魔女的條件～) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問如何證明算幾不等式？
時間: Fri May 9 13:23:04 2003


其實可以直接從n=k證到n=k+1

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렠 任思緒飛揚，隨筆而至ꄊ
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