為什麼這篇sigma定義鄉民發文收入到精華區：因為在sigma定義這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者windguide (夜很深)看板Math標題[機統] sigma algebra 觀念上的問題...
sigma定義 在 Ryan Jhan攝影 Instagram 的最佳解答
2021-03-06 22:09:10
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Definition
A collection of subsets of S (sample space) is call a sigma algebra
(or Borel field), denoted by σ.
對於 S 有兩種情況
I. If S is finite or countable, for we define for a given sample space S,
σ = { all subsets of S, including S itself }
If S has n elements, there are 2^n set in σ.
II. Let S = (-∞,∞), the real line. The σ is chosen to contain all set
of the form
[a,b], (a,b], (a,b) and [a,b)
for all real numbers a and b.
我的問題：
主要是在第二個情況的時候，當S集合為實數線時，我不懂為什麼
那四個範圍就能代表borel field。假設我選a=0, b=3
那 [0,3] (0,3] (0,3) [0,3) 就是borel field ??
可是根據定義borel field 不是應該包含所有S子集合的集合嗎?
不知道我在哪方面理解錯誤，想請各位幫我解惑。
(BTW，我不是學數學出身的，如果在哪方面用詞不精確，請大家包涵，我會再修改)
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 211.76.175.169
推 jacky7987 :他有說all the a and b。所以你的a, b要run over all 07/24 17:27
→ jacky7987 : R 07/24 17:27
推 ddxu2 :for all real numbers a and b 07/24 17:28
推 jacky7987 :不過這個是他的Borel sigma algebra吧 那四個區間剛 07/24 17:29
→ jacky7987 :好可以生成R上的Borel sigma algebra 07/24 17:29
不好意思，我不是很熟悉一些數學上的寫法用語，
for all real number a and b 這個意思是說：對所有可能的實數 a 和 b
是不是代表 a和 b並不是某一個特定的值，分別為包含所有實數的一個集合?
另外，那四個區間所產生的borel sigma algebra 裡面的元素除了空集合以外
是不是都是這四個區間的形式，然後有無限多個元素?
※ 編輯: windguide 來自: 211.76.175.169 (07/24 18:14)
推 jacky7987 :是的 所有可能的a和b都要選 0.1 0.001 0.00000...1等 07/24 21:38
→ yhliu :"II. Let S = (-∞,∞), ... " 並非說考慮的σ-field 07/24 21:40
→ yhliu :僅包含區間形式, 而是說考慮的 σ-field 包含了所有 07/24 21:41
→ yhliu :區間. 若要說生成這個 σ-field 的 collection, 並不 07/24 21:41
→ yhliu :需要所有區間, 只要四種之中的一種就夠了, 例如 07/24 21:42
→ yhliu :J = {(a,b]: a<b, a, b in R}. 07/24 21:43
→ yhliu :甚至, a, b 應該還可以限制在有理數. 07/24 21:44
→ yhliu :總之, 重點是所要的 σ-field 包含所有區間. 07/24 21:44
→ windguide :謝謝各位大大的解說 07/26 09:52