※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之銘言：
: 抱歉,我把我請益的問題說得更精準更簡潔一點
: 1.通解的定義是甚麼? 是所有解, 還是說帶有著參數可創造其它解
: 且帶入方程式等號成立的解? (我知道一般來說都是所有解)
這一題我假設你是在問最一般的狀況

有時候一個方程的所有解是可以表示為帶參數的公式的

這通常在這些所有 (無限多個) 解是有一定程度的關連性在

那這時我們要表達這一個系列的解就可以使用這些帶參數的公式來表達

也就是說這是「把這些參數代任意值就可以得到一個原式的解」這樣的感覺

而這樣的公式到底是不是所有解只有回去看要求的東西是什麼才能知道

那回到你問的「通解」(general solution) 這個詞

這到底代不代表「所有解」就我簡單 google 了一下有用到這個詞的地方來看

例如在微分方程理論裡好像就不完全是指一個微分方程的「全部」解的樣子

所以看起來也是看使用的地方而定

: 2.舉三元一次方程式例子
: x+3y+5z=1 當然通解也很多表示法沒錯 包含了我舉的例子
: x=3+2t+s y=1+t-2s z=1-t+s t,s屬於R
: 也因為算出來後帶入方程式後等號成立 我們就說這是通解
: 卻沒去檢驗他是否為"所有解" 所以我才會有第1點的疑問?
: 另外想知道要如何驗證才是確實嚴謹的?
: 而是否 n元一次方程式的解若帶有n-1個參數 ,是否就可確定是所有解(通解?)
: 3. 另外有一個小小請益
: ax+by+cz=0
: 若 v=(x1,y1,z1) u=(x2,y2,z2) 為其方程式的相異兩解
: 且 v不是u的k倍
: 那麼 span{v,u}=方程式所有解??? 如何證明呢? thx~~
這兩題一起答, 這裡就是我所說的一些線性代數理論能解答的部份

這裡用到的理論是線性代數所謂的「解空間」 (solution space)

其中對於齊次方程 (常數為 0 的) 又特別稱做「零空間」 (null space)
[x]
你 3. 提到的形式是可以寫成一個 1x3 矩陣 [a b c] 乘上一個 3x1 變數向量 [y]
[z]
這種形式的零空間性質可以由左邊的矩陣 (這裡就是 [a b c]) 的性質來描述

特別地, 要用幾個基底向量才能描述整個空間這個量稱做這個空間的維度 (dim)

這個維度就是你在 2. 問的需要多少個參數才能完整描述一個解空間的量

而一個矩陣的零空間維度稱做 nullity (零化度)

它是可以由這個矩陣出發藉由 rank-nullity theorem 求出來的

把這個定理在講的東西講通俗化一點就變成你最一開始提到的「自由度」的概念:

三個變數的總空間是三維, 一條式子 (矩陣一列) 用去一個自由度 (rank 1)

剩下的兩個自由度即是這個矩陣的 nullity, 所以需要兩個基底描述

你的最一開始的問題裡那兩個看起來不同的表示法

其實不過是在空間裡選不同的基底造成的表示法不同罷了:

{x = 1-3t-5s [x] [1] [-3] [-5]
{y = t 可以表示成 [y] = [0] + [ 1] t + [ 0] s
{z = s [z] [0] [ 0] [ 1]

{x = 3+2t+s [x] [ 3] [ 2] [ 1]
{y = 1+t-2s 可以表示成 [y] = [ 1] + [ 1] t + [-2] s
{z = -1-t+s [z] [-1] [-1] [ 1]

右邊的 t 和 s 的"係數"向量即是所選的空間中的基底不同而已

也就是說, 2. 的問題的答案是: 對於線性方程, 我們能用 rank-nullity theorem 保證

簡化後的自由度討論正確地給出了要求出所有解所需的參數個數 (其 nullity)

於是當取定基底之後得到的解就確實是所有解了

而 3. 的問題, 其實就只是你選擇了這個維度為 2 的零空間裡的兩個基底

因此 span{u,v} 就給出了整個空間, 自然就是所有解了

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將很小又單純的命令《Code》組合成函數《Function》。函數累積成更大更方便的元件《
Parts》，成為程式《App》。接著進行動態結合，相互通訊，打造出服務《Service》。
李奧納多知道，要得到結果，就必須持續進行非常單純的作業。為了展現出匹敵巨大建築
的技術，現在非得將面前的碎片組合起來。
知道這條路多麼遙遠的人，叫做極客《Geek》。
將這份尊貴具體呈現的人，叫做駭客《Hacker》。 －－記錄的地平線 Vol.9 p.299

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