為什麼這篇ln e微分鄉民發文收入到精華區：因為在ln e微分這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者ntust661 (Crm~)看板Math標題Re: [微積] 請問一個最基本的問題 lnx時間...
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2021-08-18 09:20:51
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原文43
我覺得你不能用(反微分)積分這種東西來說，不然解釋半天你也不會相信
原 PO 就先假裝不知道這個對數 ln 指數 e 往下看吧 :)
f(x+h) - f(x)
導函數的定義是 f'(x) = lim ──────
h→0 h
既然 三角函數 多項式函數 我都可以帶這個定義來求導函數
那對數呢??
x
f(x) = log f'(x) = ???
a
當然囉帶入定義吧~
(x + h) x
log - log
a a
f'(x) = lim ───────────
h→0 h
因為對數律 相減 變成 相除
x + h
(────)
log x
a
f'(x) = lim ───────────
h→0 h
因為對數律 外面相乘 變成 次方
1
──
h h
(1 + ──)
= lim log x
h→0 a
h 1 x
感覺有點怪怪的 裡面有 ── ， 外面只有 ── 。 那我讓他乘 ──
x h x
1
──
h h
x (1 + ──)
= lim ── log x
h→0 x a
↑ 反正乘 1 結果不會變 。 所以乘個 x 就要除個 x
利用對數律，把分子的 x 移進去次方裡面
x
──
h h
1 (1 + ──)
= lim ── log x
h→0 x a
這時候產生了一個非常神奇的東西 e
1/h
請問 lim (1 + h) = ???
h→0
有人說， 1 加上微量，然後在乘上無窮次方還是 1
有人說， 不對! 1 加上微量的無窮次方，然後算出來會變成 2
有人又說，錯錯錯! 1 + 微小擾動的無窮次方，會造成無限大
啾~~~~~~靜!誰才是對的呢?
這時候 Euler 就跑出來叫啦~
他說，這個簡單，利用二項式展開
m m m n m m m 2 m 3 m n
(1 + x) = Σ C x = C + C x + C x + C x + ... + C x + ...
n=0 n 0 1 2 3 n
C 就是算組合數
m m!
C = ───── ( ! 表示 階乘 )
n (m-n!)(n!)
所以依照二項式定理
1/h (1/h)! (1/h)! (1/h)! 2
(1 + h) = ──── + ───── (h) + ───── h + ...
0!(1/h)! 1!(1/h-1)! 2!(1/h-2)!
1 1 1
= ── + ── + ── + ...
0! 1! 2!
1 1 1 1 1 1
= ── + ── + ── + ── + ── + ── +...
0! 1! 2! 3! 4! 5!
= 2.718281828...
然而這個數字我們就簡略以 e 來代替
---回到這個式子
x
──
h h
1 (1 + ──)
= lim ── log x
h→0 x a
我可以知道上面那串可以寫成 e 這個常數
e
log
a 1 x
= ─── = ──── (其中 log 寫成自然對數 ln )
x x lna e
這下好啦 ! 我知道對數微分了
那我好像知道一件事情了!
n 1 n + 1
平常的多項式積分 ∫ x dx = ── x + C
n + 1
但是遇到 n = -1 就不能運算了!
1
還好今天我看到對數的微分等於 ──── (其中 ln a 又是常數)
x lna
那我要如何把 ln a 改成 1 呢 ???
很簡單! 只要把"真數"與"底數"寫成一樣的時候就會等於 1 了。
那我 ln a 的底數，就是 2.718281828.... = e
1
那我也把真數 a 令為 e 就會得到 ── 了
x
x 1
那我既然 D log = ────
a x lna
a = e 的時候??
x 1
D log = ──── ??
e x
1
d( ln x) = ─── dx
x
原PO的問題就迎刃而解啦!!!
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◆ From: 140.118.234.83
推 cosmo2256 :超推...感謝您的辛勞啦:) 不過我要再研究一下課本 11/09 22:50
→ cosmo2256 :因為它跟你是完全背道而馳 由於你用了尤拉公式 11/09 22:51
→ cosmo2256 :所以知道那一坨等於e這個常數 但課本是不用尤拉 11/09 22:51
→ cosmo2256 :反而是先知道lnx的微分是1/x 然後才知到 11/09 22:52
→ cosmo2256 :(1+1/X)^X的極限是e 11/09 22:53
→ ntust661 :感覺課本這樣寫會造成吸收不良 11/09 22:53
→ ntust661 :要定義他那你還不如先定義對數 11/09 22:54
→ ntust661 :你說是不是呀~ 11/09 22:54
推 cosmo2256 :我也絕得你這樣比較直觀:) 11/09 22:56
→ ntust661 :我覺得你看我這個看懂了在看課本上的=3= 11/09 22:56
→ ntust661 :個人推薦啦...因為當初我在學的時候我覺得這樣吸收快 11/09 22:57
→ cosmo2256 :感謝阿 你的我懂了 :) 11/09 22:57
推 ckWade :寫得真好 cosmo你可以去借一本書 "毛起來說e" 11/09 23:01
→ ckWade :整本書就是為了解答e lnx 這些數的觀念而寫的 11/09 23:02
推 cosmo2256 :喔~~ 感謝你喔:) 11/09 23:04
推 mantour :我覺得反過來也沒有錯呀 11/09 23:07
→ mantour :課本這種定義方式的目的並不是要定義e 11/09 23:07
→ mantour :而是為了要求 1/x 的反導函數 11/09 23:07
→ mantour :過程中自然產生了e這個常數 11/09 23:08
推 cosmo2256 :但是這樣的話有兩個問題 第一 如何證明他有 11/09 23:09
→ mantour :而且我想之所以會用這樣寫法也是有原因的 11/09 23:09
→ mantour :證明呀 課本上後面應該有寫 自己去看 11/09 23:09
→ cosmo2256 :對數性質 第二 我講錯了 只有第一XD 11/09 23:10
→ ntust661 :任何的積分，都是以微分來推的 11/09 23:11
→ ntust661 :所以我覺得要學積分最好先學會微分QQ 11/09 23:12
推 mantour :不對 定積分的定義是獨立於微分的定義外的 11/09 23:12
→ ntust661 :應該說有微積分基本定理才知道微分積分的關係吧@@ 11/09 23:13
→ mantour :n大這樣的approach不是不行 但要做到數學上嚴謹 11/09 23:13
→ mantour :要考慮得比較多 11/09 23:13
→ ntust661 :就像本版的第一篇XD? 11/09 23:14
→ mantour :你要先定義出 a^x ， x為實數時的值 11/09 23:16
推 cosmo2256 :目前我支持n大 理由是 比如說我們做cosx的積分 11/09 23:16
→ mantour :然後證明指數函數和對數函數都是連續函數 11/09 23:16
→ cosmo2256 :不是就都是說 因為sinx的微分等於cosx所以cosx的 11/09 23:17
→ mantour :這沒有什麼支不支持 二種都可以 11/09 23:17
→ mantour :請回想定積分的定義… 11/09 23:17
→ cosmo2256 :的積分等於sinx嗎? 若不用這個 那要如何做cosx積分 11/09 23:17
→ cosmo2256 :呢? 11/09 23:18
→ mantour :請回想定積分的定義 11/09 23:18
→ mantour :先分別定義定積分 和微分 之後才有微基分基本定理 11/09 23:19
推 cosmo2256 :那要如何用積分的定義求cosx的積分呢? 11/09 23:27
推 hanabiz :你不知道有的書先從積分開始講？ 11/09 23:44
推 yuyumagic424:早年一堆數學家都用一些奇奇怪怪的技巧來做積分的 11/09 23:45
→ ntust661 :其實在很久以前似乎積分比微分早講很多 11/09 23:45
→ yuyumagic424:到了牛頓和萊布尼茲提出微積分基本定理以後 11/09 23:45
→ yuyumagic424:積分問題才被簡化為求反微導 11/09 23:45
推 calvin4 :這篇我看了很感動，請讓我m了他。原po你真用心！ 11/09 23:50
→ ntust661 :恩嗯~ 11/09 23:50
推 mikechan :推 11/10 00:09
推 srewq :推喔! 11/10 00:26
推 ri3567 :推阿銘~~~ 11/10 00:27
推 kagato :推!! 11/10 02:01
推 e761031 :推阿~ 11/10 02:49
推 VAX9210 :原PO用心+1 11/11 08:29