為什麼這篇irrational數學鄉民發文收入到精華區:因為在irrational數學這個討論話題中,有許多相關的文章在討論,這篇最有參考價值!作者yonex (諸法皆空)看板tutor標題Re: 有理數時間Mon Feb 27 02:48:5...
irrational數學 在 辣媽英文天后 林俐 Carol Instagram 的最佳解答
2021-07-06 05:58:15
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rational number稱為有理數,基本上是一種積非成是的翻譯
應翻譯為"可比數"(關於這點項武義也在他的書上提過)
如果Q是一個有理數,那麼此數可以表達成p/q
p
Q= ----
q
其中p,q屬於整數且q不得為0
irrational number則應翻譯為"不可比數"
在數學史上,irrational number反而是累積了更多的理性才被瞭解的
稱為無理數是不恰當的...
rational number表達成小數形式必為無窮循環小數(即使是整數也是以0為循環)
irrational number則否,甚至有些數學家會研究其數字隨機分佈的理論
之前討論串裡有人提及"分數就是有理數"
這陳述是錯誤的...
整數肯定是rational number,rational number的定義中不反對q=1
但是在E.J Borowski編的權威性數學辭典中
不認為分母為1(也就是整數)為分數(fraction)
甚至,分數可以表達irrational number(待會我會證明),
irrational number目前數學家證明有兩種型態
分別是不盡根(√2,√3...等等)和超越數(e,π...)
分數有兩種:簡單分數與"連分數"(continued fraction)
一條分線稱為簡單分數(m/n,n不為0或1)
多條分線稱為連分數
無窮多條分線稱為"無窮連分數",
而無窮連分數又有一種既定成俗的形式,也就是必須把所有的分子都化為1
這是為了不讓一個數,表達為無窮連分數而造成無窮多種可能...而制訂的
所有的分子都為1的無窮連分數稱為"簡單無窮連分數"
命題:將√2化為簡單連分數
sol:√2 = 1+ (√2 - 1)
(√2 - 1)(√2 + 1) 1
√2 = __________________________ = 1+ _____________
(√2 + 1) (√2 + 1)
1 1
=1+ _______________________ =1+ ___________________________
1
2+(√2 + 1) 2+ _____________________
1
2+______________
1
2+________
2+....
數學家老早證明了"不盡根"可以化為唯一的"簡單無窮連分數"
並且有速記法,例如√2=[1;2,2,2,2.2,.....]
而√3=[1;1,2,1,2,......]
也就是說不盡根這種irrational number化為簡單無窮連分數
會是無窮循環的形式(速記法便看的出來)
而irrational number的另一種可能,
也就是超越數則辦不到有規則的無窮循環...
超越數表達為簡單無窮連分數,絕對不會無限循環
例如e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8........]
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事實上,廣義的來說....每一個實數都可以寫成獨一無二的分數(簡單連分數)
而該數為rational number時,分數的寫法長度會有限
若該數為irrational number且為不盡根,分數會無限長並且循環
若該數為irrational number且為超越數,分數會無限長並且不循環
你可以說:能表達成p/q 且q≠0這種數為rational number
但不能說rational number完全等價於分數
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