為什麼這篇irrational數學鄉民發文收入到精華區：因為在irrational數學這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者yonex (諸法皆空)看板tutor標題Re: 有理數時間Mon Feb 27 02:48:5...
irrational數學 在 辣媽英文天后 林俐 Carol Instagram 的最佳解答
2021-07-06 05:58:15
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rational number稱為有理數，基本上是一種積非成是的翻譯
應翻譯為"可比數"（關於這點項武義也在他的書上提過）
如果Ｑ是一個有理數，那麼此數可以表達成p/q
p
Ｑ= ----
q
其中p，q屬於整數且q不得為0
irrational number則應翻譯為"不可比數"
在數學史上，irrational number反而是累積了更多的理性才被瞭解的
稱為無理數是不恰當的...
rational number表達成小數形式必為無窮循環小數（即使是整數也是以0為循環）
irrational number則否，甚至有些數學家會研究其數字隨機分佈的理論
之前討論串裡有人提及"分數就是有理數"
這陳述是錯誤的...
整數肯定是rational number，rational number的定義中不反對q=1
但是在E.J Borowski編的權威性數學辭典中
不認為分母為1（也就是整數）為分數（fraction）
甚至，分數可以表達irrational number（待會我會證明），
irrational number目前數學家證明有兩種型態
分別是不盡根（√2，√3...等等）和超越數（e,π...）
分數有兩種：簡單分數與"連分數"（continued fraction）
一條分線稱為簡單分數（m/n，n不為0或1）
多條分線稱為連分數
無窮多條分線稱為"無窮連分數"，
而無窮連分數又有一種既定成俗的形式，也就是必須把所有的分子都化為1
這是為了不讓一個數，表達為無窮連分數而造成無窮多種可能...而制訂的
所有的分子都為1的無窮連分數稱為"簡單無窮連分數"
命題：將√2化為簡單連分數
sol:√2 = 1+ （√2 － 1）
（√2 － 1）（√2 ＋ 1） 1
√2 ＝ __________________________ ＝ 1＋ _____________
（√2 ＋ 1） （√2 ＋ 1）
1 1
＝1＋ _______________________ ＝1＋ ___________________________
1
2＋（√2 ＋ 1） 2＋ _____________________
1
2＋______________
1
2＋________
2＋....
數學家老早證明了"不盡根"可以化為唯一的"簡單無窮連分數"
並且有速記法，例如√2＝[1;2,2,2,2.2,.....]
而√3＝[1;1,2,1,2,......]
也就是說不盡根這種irrational number化為簡單無窮連分數
會是無窮循環的形式（速記法便看的出來）
而irrational number的另一種可能，
也就是超越數則辦不到有規則的無窮循環...
超越數表達為簡單無窮連分數，絕對不會無限循環
例如e＝[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8........]
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事實上，廣義的來說....每一個實數都可以寫成獨一無二的分數（簡單連分數）
而該數為rational number時，分數的寫法長度會有限
若該數為irrational number且為不盡根，分數會無限長並且循環
若該數為irrational number且為超越數，分數會無限長並且不循環
你可以說：能表達成p/q 且q≠0這種數為rational number
但不能說rational number完全等價於分數
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◆ From: 203.67.110.137
推 blanki:超專業的orz 02/27 03:07
→ blanki:先拜一個：） 專業好文.... 02/27 03:09
推 sendohandy:呵，和我大學學的一樣....梁賢教的..<囧> 02/27 06:51