為什麼這篇dimension線性代數鄉民發文收入到精華區：因為在dimension線性代數這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者qooo8435 (Wenze)看板Grad-ProbAsk標題[理工] [線代]生成與獨立時間...
[文有點長]
黃子嘉的線性代數及應用(上) p3-52
http://imgur.com/a/DNnqB
以(b)選項為例
這一大題看了很久實在不清楚怎麼解會比較好(觀念不知道卡在什麼地方)
我一開始看到聯想到課本p3-60的例題29
http://imgur.com/a/qsYSC
這邊例題29是W={a+b,a-2b+2c,b,c}拆成W={a(1,1,0,0)+b(1,-2,1,0)+c(0,2,0,1)}
因此可以說W=span{(1,1,0,0) , (1,-2,1,0) , (0,2,0,1)}
先看p3-52的(b) span{u,v,w} = span{u+v-w, u-2v+w , 2v-4u}
我把span{u+v-w , u-2v+w , 2v-4u}
拆成span{u(1,1,-4) + v(1,-2,2) + w(-1,1,0)}
我這邊有一個疑惑 是否可以說:
原本的span{u+v-w , u-2v+w , 2v-4u} = span{(1,1,-4) , (1,-2,2) , (-1,1,0)}呢?
接著我把(1,1,-4) , (1,-2,2) , (-1,1,0)拿來檢查發現是LD,
其中(-1,1,0)可以被前兩項線性組合取代掉,
所以等於span{(1,1,-4) , (1,-2,2)}, dimension為2
同樣的想法,我把span{u,v,w}拆成span{u(1,0,0)+v(0,1,0)+w(0,0,1)}
再把他想成相等於span{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}因此span出R^3, dimension為3
因此span{u+v-w , u-2v+w , 2v-4u} 的dimension < R^3 的dimension
所以我認為span{u+v-w , u-2v+w , 2v-4u}生不出R^3,所以不等於span{u,v,w}
--->我認為(b)為false
一模一樣的想法套用在(d)選項
span{u,v,w}=span{u+v+w , u+2v+2w , u-v+w ,v+w}
兩邊dimension都3 於R^3
--->我認為(d)是true
我總覺得我的想法有怪怪的,卻又找不出來自己的盲點在哪...
另外想看看大家能否提供比較好.更容易理解的解法
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※ 編輯: qooo8435 (61.228.140.40), 07/21/2016 22:17:03
※ 編輯: qooo8435 (61.228.140.40), 07/21/2016 22:17:29
推 ken52011219: 可以給我圖嗎 QAQ ... 沒那本 07/21 22:17
→ qooo8435: OK,等我一下 07/21 22:18
※ 編輯: qooo8435 (61.228.140.40), 07/21/2016 22:23:29→ krusnoopy: dimension都是3不一定在R^3裡唷 07/21 22:43
→ krusnoopy: u,v,w也可以是R^4的向量不過是三維的subspace 07/21 22:44
→ krusnoopy: 判斷兩邊dimension一樣這想法沒問題 07/21 22:45
→ qooo8435: span{u+v-w,u-2v+w,2v-4u}=span{(1,1,-4),(1,-2,2), 07/21 22:55
→ qooo8435: (-1,1,0)} 我這一個想法有錯在哪裡嗎? 我一直覺得怪怪的 07/21 22:56
推 krusnoopy: 我還沒想出很好的解釋方法,不過肯定是錯的,u,v,w是向量 07/21 23:43
→ krusnoopy: 不能這麼搞低,萬一uvw是R^3以上空間的基底,你們連子集 07/21 23:44
→ krusnoopy: 都不是 07/21 23:45
→ krusnoopy: 講基底不對,萬一uvw是R^4上的三個向量,肯定不再同空間 07/21 23:48
推 aa06697: 想法沒問題吧 可以帶數字進變數 老師上課也常用這招 07/21 23:50
→ qooo8435: 那麼kru大大你說的判斷兩邊dimension,在我前面都是錯誤 07/21 23:54
推 Firstshadow: QQ 07/21 23:54
→ qooo8435: 想法下,dimension相等可以代表什麼嗎? 07/21 23:54
推 ken52011219: 看很久覺得原本想法沒問題 生成集可以帶數字進去 07/21 23:55
→ qooo8435: aa06697意思是u,v,w直接帶三個常數的向量進去嗎? 07/21 23:56
→ ken52011219: 通常將 係數 寫成一個矩陣後作行、列運算 看是否為 07/21 23:57
→ ken52011219: 通常將題目係數寫成矩陣 作行、列運算看是否為行獨立 07/21 23:58
→ ken52011219: 剩餘的即是生成集 當年林瑋教我時有強調 這種生成集 07/21 23:59
→ ken52011219: 唯一 所以能符合到題幹的意思的數值就可以了 07/22 00:00
→ ken52011219: 不唯一 rrrrrr 不習慣用電腦回答 07/22 00:00
推 krusnoopy: 代表原本獨立的向量有三個,檢查後依然還有三個向量獨立 07/22 00:07
→ krusnoopy: 解法對,但是那個生成集等號不能畫上去,我舉個反例 07/22 00:20
→ qooo8435: 謝謝 我大概了解等號不能畫上去，不過這樣中間過程錯 07/22 00:28
→ qooo8435: 為何最後能導到dim不同則span不同,dim相同則span相同? 07/22 00:29
推 krusnoopy: 雖然不相等,不過你在解的還是原本獨立的向量個數有幾個 07/22 00:50
→ qooo8435: 回ken,我代入數字後,可以解到(b)詳解的第二行 07/22 00:50
→ krusnoopy: 就好像你在做列運算,行空間會被改變,但是可以知道哪些 07/22 00:51
→ krusnoopy: 行是獨立的,所以你就可以求出原本集合獨立的向量有幾個 07/22 00:52
→ qooo8435: {u+v-w , u-2v+w , 2v-4u} 為LD 07/22 00:52
→ krusnoopy: 我的智力只到這QQ 真抱歉 07/22 00:53
推 kyuudonut: 這兩題不太一樣吧? a,b,c是實數 u,v,w是vector阿 0.0 07/22 00:54
→ qooo8435: 代數字的解法我大概了解了, krusnoopy感謝><我再慢慢想 07/22 00:55
→ qooo8435: kyuu,沒錯 所以我也還在想kru大大說的為何最後也對 07/22 00:56
推 aa06697: 喔喔sorry我沒看清楚>< 實數才能那樣帶～ 07/22 01:22
→ aa06697: 看來只能用互相包含來證了@@ 07/22 01:47
→ ken52011219: 先說聲抱歉昨天精神不佳 但這兩題雖然看似差不多但是 07/22 08:58
→ ken52011219: 兩個不同的東西 07/22 08:58
→ kyuudonut: @aa 不用哦，我回在下篇 來驗證一下吧(?) 07/22 12:43
推 brad84622: 原po的盲點應該在於誤把純量當向量 07/26 00:19
→ brad84622: abc純量 題目也說在R^4 07/26 00:19
→ brad84622: 但uvw是向量不一定能生成R^3 07/26 00:19
→ brad84622: 牛跟馬的故事 （1，0，0）與 （1，0，0，0） 07/26 00:19