你的問題在泛函分析中有解答

基本上你要對應到無窮維矩陣都是沒問題的

但是就如推文所說的，究竟這個矩陣一直延伸出去他會不會收斂？

現在你的定義域以及對應域都是無窮維的函數空間

那值域呢？如果值域是有限維的，泛函稱這種算子為

finite rank linear operator

例如你把所有函數投影到一個有限維度的函數子空間(例：polynomial space)

這種算子你寫矩陣就會得到一個有限維度的 Block 其他地方都是零

如果值域是無窮維的，那你的矩陣表示法寫下來就會無法停止

假設 f_m 是定義域的基底 m = 1,...,∞

g_n 是對應域的基底 n = 1,...,∞

<T(f_m), g_n> 這個是你擺在矩陣上的數字， 它有可能趨近於零，也有可能不會

那會趨近於零的泛函稱這種算子叫做 compact operator

一般書上最常見的例子就是 convolution

不會趨近於零的，那很抱歉它真的蠻慘的，這種算子相當詭異，在線性代數上很多

理論放到他身上通通都是錯的

就像你說的微分算子一樣，你如果用傅利葉基底來當作order basis寫矩陣表示法

cos nx , sin nx 微分微來微去 都跑到 ± n 倍的對方

這時候你的矩陣就會爆炸，相當可怕。

更甚之這種 "線性" 算子 可能都不連續，在有限維度空間中，

行列式值或是矩陣的 norm 保證了線性必定連續，但這個在無窮維的世界來說

都是不成立的，所以什麼樣的線性算子它的 norm 是 bounded 的

這都有一連串的討論

再多一些的內容你可以去翻一下泛函的書籍，裡面有很多牽涉到反矩陣

跟特徵值，譜分解等等的討論。





※ 引述《pennyleo》之銘言：
: 一個函數 可視為無限維度的向量
: 則 我想問
: 把一函數視為向量後
: 對一個函數的"線性運算" 例如微分 積分 ....
: 是否必對應到一個等價的無限維度的矩陣?
: 又 這些無限維度的矩陣 其行數與列數是否應相等
: (我不確定對於無限維度矩陣這樣的敘述是否正確)
: 若以上敘述為非
: 則 對於哪些運算 才對應到等價的無限維度的矩陣?
: 以及這些無限維度的矩陣 其行數與列數是否應相等
: 請高手答覆
: 謝謝

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