※ 引述《kuromu (kuromu)》之銘言：
: 在書上看到 pull back push forward 的意義
: 覺得有點混亂
: 沒辦法對數學式有直觀感覺
: 另外 碰到 Lie derivative 的定義 因此也不了解
: α β α β α β
: 不知道為什麼 L V = V,β U - U,β V 會多出 U,β V 這一項
: U
: 推導的過程看的不是很懂
: 想請問一下這些 非常感謝

[一點粗淺看法 有錯請不吝指正]

可以先想一下這件事情：

U 對自己的 Lie derivative 應該是什麼？

我跳出去了，我又跳回來了，打我阿笨蛋～

自己害自己被打成豬頭，就變成 0 了對吧
α β
所以當 U=V 的時候，心理上可以安慰說 U,β V 是必要的(才會對消掉)。


故 Lie derivative 施加在向量場 V 的時候, 不會只抓 V 的分量對 U 微分。

你也可以從另個角度來考慮, 如果只有第一項的話, 那麼我們只要給 V 換個座標表達,

算出來結果就變了, 可是這件事情怎麼可能會依賴於具體座標呢？

(請參考 xcycl 大作: well-definiteness)


追根究柢, Lie derivative 當作用在函數上的時候才會看起來像(其實就是)derivative

我們要一直使用這件事。

比方說 L_V(f) = V(f) = (df)(V), 這裡f是函數

那注意到 L_V(f) 本身也是個函數, 對這函數再下去做 U 的 Lie derivative

得到 L_U L_V (f) = L_U ( (df)(V) )


(df)(V) 這東西看起來很玄

可是你寫成座標的話, 他就只是把 df 跟 V 各自的分量相乘再加總而已。

所以 L_U ( (df)(V) ) 應該要能拆成


L_U(df) (V) + (df) ( L_U(V) )


先看 L_U(df) 這東西

我們用 flow 把 df 拉回, 相當於 先用 flow 把 f 拉回之後再給個 "d"

然後注意到 d 是線性的, 所以對 flow 長度做微分這件事跟 d 無關,

也就是說 "L_U" 跟 "d" 的順序調換不影響結果,

此即 L_U(df) (V) = d( L_U(f)) (V)

= L_V ( L_U (f)) = L_V L_U (f)


- Rmk - 這件事情在 covariant derivative 中就不成立了,
因為 parallel transport 不見得是 diffeomorphism 來的


至於 (df) ( L_U(V) )

我們不知道 L_U(V) 是什麼, 就把它放著, 只是改個寫法做 L_(L_U(V)) (f)


綜合以上得

L_U L_V (f) = L_V L_U (f) + L_(L_U(V)) (f)


因為這個對任意函數 f 都成立, 所以得到

L_U L_V = L_V L_U + L_(L_U(V))

也就是 L_(L_U(V)) = L_U L_V - L_V L_U

改成向量場的寫法就是

L_U(V) = UV - VU


Rmk : UV 會是某種微分算子, 但是他有二階的成份, 故不會是向量場

妙的是拿另個微分算子 VU 來跟他相減, 就會把二階的部份消去

只剩下一階的部份, 就會是向量場。



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