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[爆卦]composition數學是什麼？優點缺點精華區懶人包

雖然這篇composition數學鄉民發文沒有被收入到精華區：在composition數學這個話題中，我們另外找到其它相關的精選爆讚文章

在 composition數學產品中有3篇Facebook貼文，粉絲數超過0的網紅，也在其Facebook貼文中提到， 前兩天發的Q姐升學文章意外獲得廣大迴響，沒想到這麼多人對英國的教育有興趣。 因應今天是928教師節，我決定再來詳細解釋一些比較多人提出的疑問，希望對教育話題沒興趣的朋友不要轉台，明天就回歸育兒或裝修或精品了（誤） #喜歡Q媽英國教育主題的朋友歡迎留言分享啊 首先，文章中提到英國很多小朋友為了準...

　同時也有6部Youtube影片，追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭，也在其Youtube影片中提到，【摘要】 這... 【勘誤】 無，有任何錯誤歡迎留言告知 【習題】 檔案：https://drive.google.com/file/d/1NDlpvtxhkQX47p_7o8TWdkmSPPwfx7AD/view 簡答：可在張旭的生存用微積分社團下載 社團： https://www.face...

「composition數學」的推薦目錄

composition數學 在 DSE 7科5** | IELTS 9分 | 線上補習 Instagram 的精選貼文

2020-04-21 12:36:16

大家都知道「完美」嘅英文係perfect，如果識得多幾個perfect嘅同義詞，咁就更加perfect啦！ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ Impeccable e.g. Her academic credentials are impeccable. ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ Unblemished e.g. Th...

  • composition數學 在 Facebook 的精選貼文

    2021-09-28 19:25:01
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    前兩天發的Q姐升學文章意外獲得廣大迴響，沒想到這麼多人對英國的教育有興趣。 因應今天是928教師節，我決定再來詳細解釋一些比較多人提出的疑問，希望對教育話題沒興趣的朋友不要轉台，明天就回歸育兒或裝修或精品了（誤）

    #喜歡Q媽英國教育主題的朋友歡迎留言分享啊

    首先，文章中提到英國很多小朋友為了準備11+中學升學考，從國小三年級、四年級就請英文/數學家教的大有人在。有網友問：「已經住在英國了，還要請英文家教嗎？就像住台灣請中文家教？」 網友提出的這個問題，我知道絕對沒有惡意，一定很多人都有相同的疑問。 簡單來說，英國的英文考試並不像台灣的國小或國中英文，著重在英文單字/句型/文法；當然這裡的考試也有包含上述幾項，但難度更高更艱深，而且佔比不重。 英國的英文考試，最難的項目在於 #閱讀理解 Reading Comprehension 和 #寫作 Creative Writing or Composition這兩大部分。 其中閱讀理解真的是大魔王，不只要看懂、理解、難的考題甚至還要進一步分析。 用一個更具體的比喻，就好比我們台灣考國文一樣，要看懂理解文言文或古詩，這個要拿高分就有一定的難度了。

    所以話題轉回來，如果是英國本地人，在準備考試時也會補英文或是請英文家教嗎？ 答案是肯定的。 當然，如果父母有辦法自己摸索或自己教就自己教、沒辦法就只好外包請老師教。我和DDC的英文都並非第一語言，Q姐的英文程度老早就超越我們，所以英文這考科我們完全舉手投降，就幫她找個家教輔助一下。 而且一般來說啊，數學反而是比較容易在短時間內靠刷題或大量練習而進步的科目，英文則是要考長時間的培養，所以 #從小閱讀習慣養成 是非常非常重要的，沒有大量閱讀，上述的閱讀理解和寫作能力真的會很有限！

    ———

    再來，為什麼我們決定讓Q姐去參加11+考試？ Q姐從四歲多至今一直都是在快樂學習、沒功課（頂多一週一次10分鐘寫完）、沒考試、沒壓力的公立小學就讀。 學校教的內容大致上是跟著全英提供的課綱進度在走（私立小學則是整體超前1-2年）。Q姐從三年級接近四年級開始，學校會依照學習進度和程度來分table，她英文數學一直都是在Top Table，老師也會另外提供更難的試題給她寫； 再加上Q姐自己也很好學，看到難的題目就很興奮，當時我就覺得她適合走「考試」這條路，也許可以挑戰看看去和更多人競爭，目標放在私立中學或是公立重點學校（Grammar school）

    我們大可以選擇念不用考試直接分發的公立學校一路到大學，既輕鬆又省錢，陪小孩一起準備考試最累的絕對是爸媽自己。 但我覺得既然現在我們自己還有能力、還有資源、女兒也願意的情況之下，何不讓她嘗試看看自己的潛力可以被開發到哪裡？ 能夠在這個年紀，在不是強壓硬逼的情況之下，慢慢學習處理壓力的能力也是不錯的。 經過這次準備考試的過程，Q姐也知道原來世界這麼大，在英國其他學校、其他區域，存在著更厲害、更優秀、更努力更用功的同儕們。

    更何況，以前我考不好還擔心被媽媽罵、考不理想還會被說「一定是妳還不夠用功。」 、到了國中升學期間只能把學了好多年的鋼琴停掉，專心準備聯考。 對比現在，Q姐寫習題寫不好我卻得想法子安撫她的玻璃心，常常都在調整腳步，怕自己給她太大壓力； 音樂、運動部分還是持續在走 (現在她每周都組隊和其他學校打Netball英國女子籃球)，不用為了課業放棄。

    「這個年頭的父母，比考生還不好當呀！ ！」

    ———

    最後，有網友想看看英國11+中學升學考究竟在考些什麼？ 其實每間學校的考題、題型、考科都不盡相同，但主要準備的大方向就是四個項目：英文、數學、NVR圖像推理邏輯、VR文字推理邏輯。

    我隨手分享一些習題和知名中學的考古題（Past Paper），大家可以一起來看看，以10-11歲、台灣小學五年級的年紀來說，是不是很有挑戰性呢？

    #今天應景分享教育文

    #祝全天下的老師教師節快樂

    #也替自己和DDC身為孩子人生中第一個老師的身份鼓勵鼓勵

  • Taipei Ethereum Meetup

    composition數學 在 Taipei Ethereum Meetup Facebook 的最讚貼文

    2019-11-17 23:14:17
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    📜 [專欄新文章] 瞭解神秘的 ZK-STARKs
    ✍️ Kimi Wu
    📥 歡迎投稿： https://medium.com/taipei-ethereum-meetup #徵技術分享文 #使用心得 #教學文 #medium

    上一篇關於 zkSNARK扯到太多數學式，導致很難入手，這次介紹 STARK 會盡量減少數學式，以原理的方式跟大家介紹。

    STARK 被視為新一代的 SNARK，除了速度較快之外，最重要的是有以下好處1. 不需要可信任的設置（trusted setup），以及
    2. 抗量子攻擊

    但 STARK 也沒這麼完美，STARK 的證明量(proof size)約 40–50KB，太佔空間，相較於 SNARK 只有288 bytes，明顯大上幾個級距。此外，這篇論文發佈約兩年的時間，就密碼學的領域來說，還需要時間的驗證。

    STARK 的 S 除了簡潔（Succinct）也代表了擴展性（Scalable），而T代表了透明性（Transparency），擴展性很好理解，透明性指的是利用了公開透明的算法，可以不需要有可信任的設置來存放秘密參數。
    SNARK 跟 STARK 都是基於多項式驗證的零知識技術。差別在於，如何隱藏資訊、如何簡潔地驗證跟如何達到非互動性。

    快轉一下 SNARK 是如何運作的。
    Alice 有多項式 P(x)、Bob有秘密 s，Alice 不知道 s、Bob 不知道 P(x)的狀況下，Bob 可以驗證P(s)。藉由同態隱藏（Homomorphic Hindings）隱藏Bob的 s → H(s)，藉由 QAP/Pinocchio 達到了簡潔地驗證，然後把 H(s) 放到CRS（Common Reference String），解決了非互動性。細節可以參考之前的文章 。

    問題轉換

    零知識的第一步，需要先把「問題」轉成可以運算的多項式去做運算。這一小節，只會說明怎麼把問題轉成多項式，至於如何轉換的細節，不會多琢磨。

    問題 → 限制條件 → 多項式

    在 SNRAK 跟 STARK 都是藉由高維度的多項式來作驗證。也就是若多項式為： x³ + 3x² + 3 = 0，多項式解容易被破解猜出，若多項式為 x^2000000 + x^1999999 + … 則難度會高非常多。

    第一步，先把想驗證的問題，轉換成多項式。
    這邊以Collatz Conjecture為例子，什麼是Collatz Conjecture呢？（每次都用Fibonacci做為例子有點無聊 XD）
    1. 若數字為偶數，則除以2
    2. 若數字為奇數，則乘以3再加1 (3n+1)

    任何正整數，經由上述兩個規則，最終結果會為 1 。（目前尚未被證明這個猜想一定成立，但也還未找出不成立的數字）

    52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1.

    把每個運算過程的結果紀錄起來，這個叫做執行軌跡（Execution Trace），如上述52 -> 26 -> … -> 1。接著我們把執行軌跡轉換成多項式（由執行軌跡轉成多項式不是這裡的重點，這裡不會贅述，細節可以參考 StarkWare的文章 ）如下

    https://medium.com/starkware/arithmetization-i-15c046390862

    合成多項式

    接著就把這四個限制條件的多項式合成為一個，這個最終的多項式就叫做合成多項式（composition polynomial），而這個合成多項式就是後面要拿來驗證的多項式。

    就像一開始提的，SNARK跟STARK都是使用高維度多項式，接著，來介紹STARK是藉由哪些方式，達到零知識的交換、透明性(Transparency)跟可擴展性(Scalability)。

    修改多項式維度

    這一步是為了後面驗證做準備的。在驗證過程使用了一個技巧，將多項式以2的次方一直遞減為常數項（D, D/2, D/4 … 1），大幅減低了驗證的複雜度。因此，需要先將多項式修改為2^n維度

    假設上述的每個限制多項式（不是合成多項式喔）為Cj(x)，維度為 Dj，D >= Dj 且 D 等於2^n，為了達到 D 維度，乘上一個維度（D -Dj）的多項式，

    所以最終的合成多項式，如下

    其中的αj、βj是由驗證者(verifier)所提供，所以最終的多項式是由證明方(prover)跟驗證方所共同組成。

    *這小節的重點是將多項式修改成D維度，覺得多項式太煩可忽略

    FRI

    FRI 的全名是”Fast RS IOPP”（RS = “Reed-Solomon”, IOPP = “Interactive Oracle Proofs of Proximity”）。藉由FRI可以達到簡潔地驗證多項式。在介紹FRI 之前，先來討論要怎麼證明你知道多項式 f(x) 為何？

    RS 糾刪碼：

    糾刪碼的概念是把原本的資料作延伸，使得部分資料即可以做驗證與可容錯。其方式是將資料組成多項式，藉由驗證多項式來驗證資料是否正確。舉例來說，有d個點可以組成 d-1 維的多項式 y = f(x)，藉由驗證 f(z1) ?= y，來確定 z1是否是正確資料。

    回到上面的問題，怎麼證明知道多項式？最直接的方式就是直接帶入點求解。藉由糾刪碼的方式，假設有d+1個點，根據Lagrange插值法，可以得到一個 d 維的多項式 h(x)，如果如果兩個多項式在（某個範圍內）任意 d 點上都相同（ f(z) = h(z), z = z1, z2…zd），即可證明我知道 f(x)。但是我們面對的是高維度的多項式，d 是1、2百萬，這樣的測試太沒效率，且不可行。FRI 解決了這個問題，驗證次數由百萬次變成數十次。

    降低複雜度

    假設最終的合成多項式為 f(x)，藉由將原本的1元多項式改成2元多項式，以減少多項式的維度。假設 f(x) = 1744 * x^{185423}，加入第二變數 y，使 y = x^{1000}，所以多項式可改寫為 g(x, y) = 1744*x^{423}*y^{185}。藉由這樣的方式，從本來10萬的維度變成1千，藉由這種技巧大幅降低多項式的維度。在 FRI 目前的實做，是將維度對半降低 y = x²（f(x) = g(x, x²)）。

    此外，還有另一個技巧，將一個多項式拆成兩個較小的多項式，把偶數次方跟奇數次方拆開，如下：

    f(x)= g(x²) + xh(x²)

    假如：

    f(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + a4x⁴ + a5x⁵
    g(x²) = a0 + a2x² + a4x⁴, （g(x) = a0 + a2x + a4x²）
    h(x²) = a1x + a3x² + a5x⁴, （h(x) = a1 + a3x + a5x² ）

    藉由這兩個方法，可以將高維度的多項式拆解，重複地將維度對半再對半，以此類推到常數項。而 FRI 協議在流程上包含兩階段 — 「提交」跟「查詢」。

    提交階段：提交階段就如同上述過程，將多項式拆解後，由驗證者提供一亂數，組成新的多項式，再繼續對多項式拆解，一直重複。

    f(x) = f0(x) = g0(x²) + x*h0(x²)
    ==> f1(x) = g0(x) + α0*h0(x), ← α0（驗證者提供）
    ==> f2(x) = g1(x) + α1*h1(x), ← α1（驗證者提供）
    ==> . . .

    查詢階段：這個階段要驗證證明者所提交的多項式 f0(x), f1(x), f2(x), … 是否正確，這邊運用一個技巧，帶入任意數 z 及 -z（這代表在選域的時候，需滿足 L²= {x²：x ∊ L}，這邊不多提）。所以可以得

    f0(z) = g0(z²) + z*h0(z²)
    f0(-z) = g0(z²) -z*h0(z²)

    藉由兩者相加、相減，及可得g0(z²)、h0(z²)，則可以計算出f1(z²)，再推導出f1(x)，以此類推驗證證明者傳來的多項式。

    Interactive Oracle Proofs (IOPs)

    藉由FRI（RS糾刪碼、IOPs），將驗證次數由數百萬降至20–30次（log2(d)），達到了簡潔地驗證。不過，我們解決了複雜度，但還有互動性！

    * 與SNARK比較 ：SNARK在驗證方面利用了QAP跟Pinocchio協定。

    非互動性

    藉由 Micali 建構（Micali construction）這個概念來解釋如何達到非互動的驗證。Micali 建構包括兩部分，PCPs（Probabilistically checkable proof）跟雜湊函數。PCPs 這是一個隨機抽樣檢查的證明系統。簡單來說，證明者產出一個大資料量的證明（long proof），經由隨機抽樣來驗證這個大資料量的證明。過程大約是這樣，證明者產出證明𝚿，而驗證者隨機確認 n 個點是否正確。

    在STARK，我們希望達到：1.小的證明量，2.非互動。隨機抽樣可以讓達到小的證明量，那互動性呢? 想法很簡單，就是預先抽樣，把原本 PCPs 要做的事先做完，然後產出只有原本證明 𝚿 抽樣出的幾個區塊當作證明。但想也知道，一定不會是由證明者抽樣，因為這樣就可以作假。這裡是使用 Fiat-Shamir Heuristic 來作預先取樣。

    首先，先把證明 𝚿組成 merkle tree，接著把 merkle root 做雜湊可得到一亂數 𝛒，而 𝛒 就是取樣的索引值。將利用𝛒取出來的區塊證明、區塊證明的 merkle tree 路徑跟 merkle root, 組一起，即為STARK 證明 𝛑。

    到目前，只使用雜湊函數這個密碼學的輕量演算法。而雜湊函數的選擇是這個證明系統唯一的全域參數（大家都需要知道的），不像是 SNARK 有 KCA 使用的(α, β, 𝛾)等全域的秘密參數，再藉由 HH（同態隱藏）隱藏這些資訊來產生 CRS。因為證明的驗證是靠公開的雜湊函數，並不需要預先產生的秘密，因此 STARK 可以達到透明性，也不用可信任的設置。

    接著，將FRI中需要互動的部分（驗證者提供 α 變數），使用上述的 PCP + Fiat-Shamir Heuristic， 即可達到非互動性。

    * 與SNARK比較： SANRK 的非互動性是將所需的全域參數放到CRS中，因為全域參數是公開的，所以CRS裡的值使用了 HH 做隱藏。

    MIMC

    大部分證明系統，會使用算數電路來實作，此時，電路的複雜程度就關係到證明產生的速度。 STARK 的雜湊函數選用了電路複雜度較簡單的 MIMC，計算過程如下：

    https://vitalik.ca/general/2018/07/21/starks_part_3.html

    這樣的計算有另一個特性，就是無法平行運算，但卻又很好驗證，因此也很適合 VDF 的運算。Vitalik有一個使用 MIMIC 作為 VDF 的提案。

    ps. 反向運算比正向慢百倍，所以會是反向計算，正向驗證

    從上面的解釋，可以理解為什麼 STARK 不需要可信任設置，至於為什麼能抗量子？因為 SNARK 中使用了 HH 來隱藏秘密，而 HH 是依靠橢圓曲線的特性，但橢圓曲線沒有抗量子的特性（也就是可以從公鑰回推私鑰）。而STARK在整個過程中只使用了雜湊函數，而目前還沒有有效的演算法能破解雜湊函數，因此可以抵抗抗量子攻擊。

    有錯誤或是不同看法，歡迎指教

    參考：
    StarkDEX Deep Dive: the STARK Core Engine
    STARK 系列文：
    STARK Math: The Journey Begins
    Arithmetization I
    Arithmetization II
    Low Degree Testing
    A Framework for Efficient STARKs
    Vitalik 系列文：
    STARKs, Part I: Proofs with Polynomials
    STARKs, Part II: Thank Goodness It’s FRI-day
    STARKs, Part 3: Into the Weeds
    ZK-STARKs — Create Verifiable Trust, even against Quantum Computers
    https://ethereum.stackexchange.com/questions/59145/zk-snarks-vs-zk-starks-vs-bulletproofs-updated

    Originally published at http://kimiwublog.blogspot.com on November 12, 2019.

    瞭解神秘的 ZK-STARKs was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.

    👏 歡迎轉載分享鼓掌

  • 國立臺灣大學 National Taiwan University

    composition數學 在 國立臺灣大學 National Taiwan University Facebook 的精選貼文

    2017-04-28 09:11:33
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    【「藝術之窗—校園尋美計畫」登場】

    「藝術之窗—校園尋美計畫」，以空間與時間訴說，回望臺大校園，透過不同的展演與實驗，將藝術種子散佈在各個角落，這一次我們邀請到經濟系校友藝術家紀柏豪，企劃了【日常返響 Everyday Trace】計畫，由紀柏豪帶領13位同學共同創作、展出於社科院。

    【日常返響 Everyday Trace】計畫

    日常生活的經驗，形塑我們的記憶與感知。大同小異的現代化城市裡，人們依循相同的規則，透過標準化與計量化維持秩序，使生活容易推行，卻也抹平了差異。那些習以為常的重複，是循環也是限制，讓人得以預期不久後的將來，不至於面對過多選擇而無所適從。米蘭昆德拉在《生命中不能承受之輕》讓特麗莎說出「幸福是對重複的渴求」。卡繆《薛西弗斯神話》則說每個人都是薛西弗斯，大部分日子一天接著ㄧ天周而復始地流逝，差別只在是否意識到這點。在匆忙與庸碌中，有太多東西我們看不見/視而不見，有些卻又看得太過真切；像是張不帶目的的草圖，最終也不會成為一幅畫。

    「日常返響」創作計畫，將帶領學生們關注/搜集生活周遭的人事物，從略帶驚奇的厭倦中發掘平凡景致的可能性。經由人聲與物件即興、接觸式麥克風製作、多聲道作曲、共振喇叭與揚聲物件應用、路上觀察、環境錄音...等練習，將成果轉化為展覽形式呈現。對外活動，則有與超維度互動合作的「白傘計畫」工作坊，及利用Max/MSP軟體切入媒體藝術創作的「互動影音」工作坊。

    應援講師：張惠笙+Nigel、劉芳一

    Workshop Lecturer: Ting Shuo Studio, Liu Fangyi

    共同創作指導：宮保叡、許雁婷、張孟泰

    Invited Lecturer: Paul Gong, Yenting Hsu, Mengtai Zhang


    Our experience from daily life forms our memory and senses. In a world that every city looks alike, people tend to follow the same rules. Our standardized life style has its rhythm and orders that push us forwards. It’s an easy circulation but also a limitation that makes everyone even, that erases one’s character. “Happiness is an eagerness for repetition, quoted from Milan Kundera” Repetition prepares us for a future that is more certain. Perhaps everyone is Sisyphus, trying to live through the days. At a swift pace of life we ignore what we see; or, we simply get too near to recognize the picture in it.

    Everyday Trace is led by artist Chi Po Hao and 13 students. Through observing daily lives, they create dialogue, question things that are often neglected, collect daily traces, and improvise out of sound and found-objects. They aim to discover the possibility out of everyday life in a creative process and a playful way.

    「日常返響Everyday Trace」



    展覽時間 | 4/8(六) ~ 5/31 (三)

    展覽地點 | 社會科學院頤賢館一樓大廳 Map

    展出藝術家 | 紀柏豪

    共同創作團隊 |

    江書葳、李亞潔、徐筱淇、徐懿、許惟理、陳立庭 郭芮廷、楊謹庭、

    鄭羽喧、劉心揚、劉怡辰、盧思諭、簡子涵

    特別活動│

    午間導覽 5/8(一) － 5/12(五)，每日13:00 – 13:30

    藝術家導覽&閉幕live jam 5/21(日) 16:00



    「互動影音」工作坊

    想了解科技藝術家們精準又華麗的影音效果，是如何透過數學與邏輯運算即時生成嗎？本工作坊適合喜愛音樂，卻又希望能擁有更多創作語彙，並探索聲響可能性的朋友參加。將以Max/MSP為例，介紹聲音合成、音訊效果以及演算法於作曲上的應用。

    時 間 | 5/4(四) 18:30~21:30

    地 點 | 臺大社科院（介宙館）302室 Map

    講 師 | 藝術家 紀柏豪

    報名時間 | 即日起至4/28日止

    線上預約 | 採線上預約報名，名額有限。

    並於5/1統一寄發email公布報名成功者，並附上互動影音創作軟體連結。

    **本場活動需自備筆記型電腦，以便操作影音創作軟體。




    人物介紹

    藝術家//紀柏豪
    臺大經濟系B96的校友，在校期間曾擔任學生會幹部與社科院學代，畢業後曾為唱片公司簽約作者，並創立Changee創意平台與籌組Hello Nico樂團，後於倫敦大學金匠學院修讀音樂碩士，主修錄音室作曲(Studio Composition)。目前為自由工作者，主要以聲音為創作媒介，作品大致上涵蓋但不限於電聲作曲、裝置、現場電子等形式。近年常於各地旅行與發表作品，也與劇場、舞團合作具互動性與實驗性的現場音樂可能性。曾入選國藝會「海外藝遊專案」、雲門舞集「流浪者計畫」，並於荷蘭V2動態媒體中心、法國西帖國際藝術村、香港PageNEXT&Asia Art Archive、西班牙Laboral藝術與創意產業中心駐村。http://xn--chipohao-te1mv2in39bfs9f.com/ 。

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