📜 [專欄新文章] Uniswap 解析：恆定乘積做市商模型 Constant Product Market Maker Model 的 Vyper 實作
✍️ 田少谷 Shao
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在 🦄 Uniswap v2 到來之前徹底了解 v1 的設計與演算法！

Image source: https://uniswap.org/

Outline

一. 前言二. 恆定乘積做市商模型 Constant Product Market Maker Model 1. 計入手續費 2. 程式碼結構 3. 演算法核心與實作 4. 段落小結三. 流動性 Liquidity 1. 第一筆流動性注入、決定k值 2. 除了第一筆以外的情況四. 結語

一. 前言

暨上一篇開始接觸了 Vyper 後，我找了 Uniswap 的程式碼來更加熟悉 Vyper 的實作方法，順便研究了其演算法，然後就又寫了一篇 xD

類 Python 的合約語言 Vyper 開發入門：與 Solidity 差異、用 Truffle 部署、ERC20 賣幣合約實做

Uniswap 是以太坊上非常成功的自動做市商 Automated Market Maker (AMM)。本次我將用的 Uniswap 的程式碼搭配由 Runtime Verification 這家審計公司對 Uniswap 所做的形式化驗證結果來解釋恆定乘積做市商模型的 Vyper 實作 (2018 審計時 Uniswap 就已經是用 Vyper 而非 Solidity 了)：

智能合約程式碼：https://github.com/Uniswap/uniswap-v1/blob/master/contracts/uniswap_exchange.vy

合約審計結果：https://github.com/runtimeverification/verified-smart-contracts/blob/master/uniswap/x-y-k.pdf

本文將以講解實作概念及數學推導為重點，程式碼的部分只是輔助。審計結果將恆定乘積做市商模型演算法的數學推導寫得非常清楚而有趣(?)，建議有興趣者可以整份看過一遍，相信得到很多收穫！

至於更多 Uniswap 的介紹有興趣者可以參考 吳冠融 Roger Wu 所撰寫的簡介與使用流程：

解析 DeFi 項目《Uniswap》（一）Uniswap 是什麼？

解析 DeFi 項目《Uniswap》（二）Uniswap 如何使用？

在開始前的最後，先預告本文頗長，所以來播個被 Youtube 推薦的歌吧：

二. 恆定乘積做市商模型 Constant Product Market Maker Model

交易所如果要去中心化、也不使用掛單 order book，就需要靠演算法自動算出交易標的的數量與價格，而 Uniswap 使用名為恆定乘積的演算法，其來源可追溯自 Vitalik 的這篇文章：點我。

公式非常的簡單：x * y = k。令交易的兩虛擬貨幣為 X 和 Y，各自數量為 x 和 y，兩貨幣數量的乘積 x * y 恆等於 k，k 值是由第一筆注入的流動性所決定 (於 三. 流動性 Liquidity 解釋)。

因此，用 ∆x 數量的 X 幣來購買 Y 幣所能得到的數量 ∆y、或是為了購買 ∆y 需要付出的 ∆x 數量，依照此公式進行計算：(x+∆x)(y-∆y) = k，而交易的價格就是兩幣量 ∆x 和 ∆y 的比。

以下公式用 α = ∆x / x 和 β = ∆y / y 來表示 ∆x 和 ∆y 及 X Y 兩幣在交易發生後的新均衡數量：

圖一

1. 計入手續費

在 Uniswap 進行的每一筆交易都會被收取 ρ = 0.003 / 0.3% 的手續費回饋給流動性提供者 liquidity provider ，因此要將手續費納入公式的考量：

圖二

上圖的公式或許不太直覺，我建議不要從 x’ρ 及 y’ρ 開始理解，而是從 ∆x 和 ∆y 兩值開始：手續費 ρ = 0.3% 的意思是會從付款中扣掉 0.3 %，也就是從 ∆x 扣。在有手續費的情況下 ∆x 就變成了 (1-ρ)∆x ，若令 γ = 1-ρ 則為 γ∆x。因此，將圖一中的 ∆x 換成 γ∆x，就會得到以下式子：

source: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

將等號左方的 γ 移到右方後就得到了圖二中的 ∆x。同理，由於 ∆y 中的 α = ∆x / x ，用 γ∆x 代換 ∆x 就會得到圖二中的 ∆y (有 α 的地方乘上 γ )。而 x’ 還有 y’ 就可以由 ∆x 和 ∆y 推出來了！

然而，將圖二中得到的 x’ 和 y’ 相乘，會得到：

source: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

也就是說，當有手續費使得 γ != 1 /ρ != 0，x’ρ * y’ρ 的值其實會稍微和 xy = k 不同：在實作上 γ = 0.997 / ρ = 0.003，因此 1/γ-1 ≒ 0.003。β = ∆y / y 代表的是換得的 Y 幣佔總量的比例，即使最大值為 1，誤差也只有 1 * 0.003，故可知手續費 = 0.3% 對於 k 值的影響極小。

2. 程式碼結構

了解了基本的公式後，就可以開始研究程式碼是怎麼撰寫的。首先來看各個函式的功能：

addLiquidity() 及 removeLiquidity()：轉入與轉出資金，留到 三. 流動性 Liquidity 中說明

getInputPrice() 及 getOutputPrice()：最主要的函式，用以計算給 ∆x 所能換得的 ∆y 數量、以及為了得到 ∆y 所要支付 ∆x 的數量。此兩函式會被其他負責進行交易、匯幣的函式使用

三組 (eth->Token, Token->eth, Token->Token) 的 swap() 及 transfer()：swap() 的收幣人就是付款人、transfer() 的收幣人不是付款人而是指定的對象。基本上這兩函式就是呼叫 getInputPrice() 或是 getOutputPrice() 後進行匯幣的動作，因此不再多做解釋

3. 演算法核心與實作

在研讀程式碼前，先回顧一下 ∆x 和 ∆y 的公式：

首先我們考慮用 ∆x 所能購買到的 ∆y 的 getInputPrice()：

什麼…就這幾行程式碼？是的。

以上的程式碼和公式表達方式不同，因此先將 α = ∆x / x 和 β = ∆y / y 代換回來並將上下同乘 x：

source: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

由於 γ = 0.003，可以將上下同乘 1000 後得到：

source: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

接著就能來對照程式碼了：

(109行) numerator: input_amount 是欲支付的 X 幣數量 ∆x、output_reserve 是 Y 幣數量 y，再乘上 997 後就是等式右邊的上方 (= 997∆xy)

(110行) denominator: input_reserve 是 X 幣的數量，乘上 1000 再加上剛剛算過的 997∆x，就得到了等式右邊的下方 (= 1000x + 997∆x)

此處要注意的是 Vyper 的除法是無條件捨去，等同於 floor() 函式。這會不會造成嚴重的影響呢？如果熟悉 ERC20 的人應該記得，在發幣時輸入的四個參數中有一個參數代表小數點的位數，如同下方程式碼中的 2 代表最後兩位在小數點後。舉例來說，當 getInputPrice() 收到 1234567 為這個幣的 input_amount 時，代表使用者擁有的幣的數目實際上是 12345.67。因此，即使將結果捨去 0.67 後的數字，影響真的不大，況且如果不捨去而選擇無條件進位，那代表交易所反而要虧損一點點啦，太佛心了吧 xD 有興趣者可以看看審計報告的內容，有更詳細地去定義這些誤差所影響的範圍！

再來我們看若要購買 ∆y 需要付出多少 ∆x 的 getOutputPrice()。

一樣先將 α = ∆x / x 、β = ∆y / y 和 γ = 0.003 代換並上下同乘 1000y 得到：

source: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

我們已經看過 getInputPrice() 一次了，所以應該能發現第 122–124 行得出的結果和上式相同。要注意的是這邊的結果反而是無條件捨去後直接 +1，因為這是在計算使用者要付多少 ∆x 才能購買到 ∆y，為了不讓交易所虧只能選擇請使用者多付一點點。

4. 段落小結

以上就是撇除匯幣等函示，恆定乘積做市商的 Vyper 實作，沒錯就這樣而已！Uniswap 之所以可以做到低 gas 消耗就是因為這個演算法本身就非常簡單，所需的運算也就是兩三次乘除法而已！

不過我們還沒結束，接下來要談談如何投入資金/注入流動性，而這部分也包含了決定 k 值的精妙機制！

三. 流動性 Liquidity

流動性指的是交易市場中能夠交易的資金/標的物的量。使用自動做市商 (AMM) 而非掛單的最大好處就是市場一定會有流動性，而缺點就是如果交易量越大就會造成越大的滑點 Slippage，意思就是交易價格變動會越大、得到的價格越差 。

source: https://ethresear.ch/t/improving-front-running-resistance-of-x-y-k-market-makers/1281

我們可以用上面提到的 V 文章中的圖片來迅速帶過，畢竟有關注 Uniswap 的讀者大概都已經看過這圖很多次了。

當要兌換的幣的數量越大/占比越重，例如：20% Y 幣的流動性，就會造成要付出比兌換少量時極為不對稱的高額 X 幣。

接著我們要來探討注入流動性的原則，依照市場是否已經有流動性而區分為兩種情形：

1. 第一筆流動性注入、決定 k 值

以下程式碼是 addLiquidity() 函式中 46-48, 51, 及 64-74 行。當市場上還沒有任何流動性時，不會滿足第 51 行而是進入 64 行的 else。

在第 65 行我們可以看到 msg.value ≥ 10¹⁰，以及在 67 行 token_amount 就是其中一個輸入值 max_tokens。這邊代表的是第一個注入流動性的使用者可以自行決定要注入多少 Ether (≥ 10¹⁰) (= x) 以及相應的幣的數量 (= y)，也就是上方提到的 k 值 (= x* y)，在本例的 X 幣就是 Ether。(本處先不解釋剩餘的程式碼，留到 2. 除了第一筆以外的情況)

那麼問題來了：第一個注入流動性的人要怎麼決定提供各自多少的兩種幣呢？最好的辦法是依照當時兩幣的市價比，讓兩者的價值 (數量 * 價格) 相同，例如：當 1 Ether 的價格為 100 Dai，注入 1 Ether 以及 100 Dai 是最好的，因為兩種幣的總價值是一樣的，以下舉例說明原因。

當 1 Ether 市價為 100 Dai 時，假設第一人決定注入 1 Ether 和 50 Dai (k = 50)，總價值為 150 Dai，我們考慮兩種兌換方法：

Ether -> Dai：用 0.1 Ether 來購買 Dai，依照上方公式 (1+0.1)(50-y) = 50 可得 y ≒ 4.55，也就是說得到的價格是 0.1 Ether = 4.55 Dai，遠低於市價 0.1 Ether = 10 Dai，相信沒有人這麼傻~

Dai -> Ether：用 2 Dai 來購買 Ether，依照上方公式 (1-x)(50+2) = 50 可得 x ≒ 0.038，也就是說得到的價格是 2 Dai = 0.038 Ether，高於市價 2 Dai = 0.02 Ether，那麼眼尖的人就會立刻衝來套利了xD

那麼即使如此，第一人有所損失嗎？當然有！假設路人 A 手上有 30 Dai (= 0.3 Ether)，A 看到機會後就把 30 Dai 全換成 Ether：(1-x)(50+30) = 50 可得 x = 0.375，大於原本持有的 Dai 的價值 0.3 Ether。此時，第一人即使立刻抽出現存的全部資金 Ether = 0.625 及 Dai = 80，總價值也只剩下 142.5 Dai，比起原本的 150 Dai 還少。以上的計算還有手續費沒有納入考量，但也只有 30 Dai 的 0.3% = 0.09 Dai。

由上例可知，第一位提供流動性的人為了避免自己的損失，確實得依照當時兩幣的市價比去提供相應的數量。傑克，這真是太神奇了0…0

2. 除了第一筆以外的情況

如果市場已經有流動性，使用 addLiquidity() 來注入流動性就會進入第 51 行的 if。

source: https://github.com/Uniswap/uniswap-v1/blob/master/contracts/uniswap_exchange.vy

(53行) eth_reserve: 由於使用者已經透過函式 addLiquidity() 將錢匯入了合約，因此將合約所擁有的 Ether 數量 self.balance (= x + ∆x) 減去使用者匯入的錢 msg.value (= ∆x)，得到使用者匯錢之前合約內所擁有的 Ether 數量 (= x)

(54行) token_reserve: self.token 是一個餵入幣地址的 ERC20 instance；透過呼叫 ERC20 的函式 balanceOf() 即可查出合約所擁有的 Y 幣的數量 (= y)

(55行) token_amount: 透過將合約所擁有的 Y 幣的數量 token_reserve (= y) 乘上使用者匯入的錢 msg.value (= ∆x) 對合約原本擁有的Ether 數量 eth_reserve (= x) 的比例，代表使用者應該相應地注入多少 Y 幣 (∆y = y * ∆x / x)。除法一樣是無條件捨去

(56行) liquidity_minted: 將原本交易所中的總流動性 total_liquidity 乘上增加的比率 msg.value / eth_reserve (= ∆x / x) ，代表增加的流動性，隨後會在第 58 行記錄下來

(60行) transferFrom() 函式將使用者應付的 Y 幣數量 token_amount (= ∆y) 匯入當前合約，就完成了流動性的注入。小提示：智能合約中的 assert() 會確保函式內的條件如果失敗就整筆交易 transaction 直接取消，因此只要傳入的參數已經被計算好，於 60 行再進行 transferFrom() 其實與放在前面並沒有太大的差別

以上就是注入流動性的大致實作內容。取出資金 removeLiquidity() 其實與 addLiquidity() 的做法大同小異，因此就不再贅述。

四. 結語

呼，真的累。恆定乘積做市商模型的概念雖然簡單，但解釋起來還是挺複雜的！其實本文並未著墨於審計報告中的主要議題：評估因為整數除法 (不使用浮點數) 而造成的誤差範圍，因為講起來非常複雜、也不是真的這麼需要知道。不過，恰巧就是這些程式碼的細節有可能讓程式產生預期之外的結果！因此，對於有興趣了解該如何去分析智能合約整數除法的讀者，可以研究一下；而 Uniswap 的程式碼因為是用 Vyper 實作，可讀性非常高、同時也不難，因此也非常值得打開來看看、甚至動手實作自己的版本！

最後，如果本文有任何錯誤，請不吝提出，我會盡快做修正；而如果我的文章有幫助到你，可以看看我的其他文章，歡迎一起交流 :)

田少谷 Shao - Medium

Uniswap 解析：恆定乘積做市商模型 Constant Product Market Maker Model 的 Vyper 實作 was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.

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很多父母曾經問我: 我的小孩倒底在想什麼啊?
Blob Tree 則是用來瞭解小孩情緒，以及讓小孩瞭解、認識自己情緒，以及自己跟他人的關係的一張圖。
Chicco Taiwan 的臉書中已經有很好的說明，告訴大家如何使用這張圖。不過這張圖不同時候有不同作用。可以是單一小孩使用，也可以用來做團體活動。有興趣的朋友也可以看一下下面用來做團體活動的連結（英文）: http://www.schoolslinkingnetwork.org.uk/…/who-am…/blob-tree/

【Blob Tree: 讓你知道在孩子眼中世界是什麽樣子】

Blob Tree被英國學校作為孩子情緒管理的教材。

它的奇妙在於不同的人看圖可以說出不同的感受。如果你想知道孩子對父母家人的感受，可以問誰是爸爸，誰是媽媽，兄弟姊妹在那？班級的同學在做什麽？老師呢？你最喜歡誰？最不喜歡誰？爲什麽？通過問題，可以瞭解孩子最近的心情和經歷。

不同時間、不同情境下問，得出的答案又會不同。
大人們不妨也試試，看你們的看法和孩子的看法是不是一樣。

●關於Blob Tree的使用

第一步是讓孩子把自己的心情說出來，表達出來。但是即使是成人，對情緒進行描述也是有挑戰性的，所以英國學校給孩子的情緒管理課常用的教材是Blob Tree。看圖中的人沒有性別，年齡，都是中性，所以孩子們可以用它們來代表自己目前的情緒，幫助孩子認識自己和他人。

針對這個Blob Tree,我們可問的問題要由淺入深：

首先：這棵樹上誰最高興，悲哀，有意思，酷，孤獨？

進一步問：誰積極，消極，關心別人，領頭，警察，會死，會犯罪？

深度問題：誰是目前的你？你最希望是誰？上帝是那個？媽媽爸爸想誰？誰最可怕?你最喜歡誰？你最不願和誰在一起？

這些問題是由淺入深，逐漸要孩子們思考，認識自己和別人的情緒，小組討論最好，因為孩子們可以看到別人對自己的印象可能和自己真實的情緒不一樣。這些問題沒有標準答案，關鍵是通過這張圖和討論，大家認識自己，知道沒人願意和危險憤怒的人交朋友。知道什麼是快樂如何快樂。

它的美在於不同的人有不同的看法和感受，沒有標準答案，用途甚廣。比如我想知道孩子們對我們的感受，就問女兒兒子誰是爸爸和媽媽，女兒說那兩個摟在一起的一個是媽媽，一個是她；兒子說扛著人的是爸爸，旁邊伸手的是媽媽。父母不妨由此看看你在孩子眼中是什麼樣子。他們希望是什麼樣子的。

這個圖本身就可以把孩子的壞情緒緩解，原因是表達出來了，被父母朋友理解了，人就輕鬆了。比如孩子生氣的時候，可以拿出圖來問一問，現在他是誰，這時候孩子很可能是那個趴在地上或右上角的那個，再問問你最願意和誰交朋友，你最煩誰，最怕誰，最喜歡誰，過會兒再問，你現在是那個？

我們父母往往對孩子的朋友品頭論足，用我們的價值觀念來衡量小孩子的喜好。不妨可以用此圖了解一下孩子為什麼交朋友，問問孩子你的朋友是那個？再問問要是朋友離開你了，你會是誰？這樣就知道朋友在他們心目中的地位和他們的交友標準。

小編覺得這個圖像是剖析孩子心理一樣，只是中間當作協助孩子了解自己以及更加認識孩子的角色，是父母。

[訪談系列｜德國互惠生Au Pair]
這一次邀請到雅婷來跟我們分享他申請Au Pair的過程，還有他在輔大德文系四年的心得感想，先講講為什麼我認識雅婷好了！在他高中剛畢業的那個暑假，他就自己一個人到德國杜賽道夫念一個月的語言班，後來去柏林旅行，也因為那一年我也在柏林附近的小城鎮交換，所以就遇見他啦～那時候只是很驚訝，怎麼一個小妹妹就這樣自己來了德國，跟他聊天才發現他對德國真的是滿滿的愛，所以會選德文系。
1️⃣互惠生是什麼？
互惠生又稱為Au Pair，源自於法與，意思是“平等的”與“互惠的”，參加這個計畫的青年跟寄宿家庭在一個互惠互利的關係上生活，寄宿家庭為互惠生提供一切生活需求，每個月也會給他們零用金，而學生就要為家庭照顧小孩跟做簡單的家務。

2️⃣互惠生的簽證怎麼辦？
一樣到德國在台協會的網站上面找“單一國長期簽證”這個項目，裡頭就會有“互惠生”簽證咯！
https://taipei.diplo.de/blob/1798180/29c65d63bdd2854f500b13a0719fef8e/merkblatt-au-pair-data.pdf

3️⃣互惠生要去哪裡找雇主跟寄宿家庭？
https://www.aupairworld.com/en
https://www.aupair.com/

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▪︎ 德國一天需要多少德文：https://youtu.be/qsmiffED25Y
▪︎ 德國外食花費：https://youtu.be/DDH8coykU3A
▪︎ 德國大學排名：https://youtu.be/9XWqweyKowo

⇢德國留學訪談
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▪︎ 德國碩士獎學金（慕尼黑工大）https://youtu.be/HvS2e6WjZzo
▪︎ 瑞士博士申請（蘇黎世聯邦理工）https://youtu.be/nT0HYE1Ctn0
▪︎ 瑞士碩士申請（洛桑聯邦理工）https://youtu.be/ATmVnNDhHTE
▪︎ 德國科大碩士（Hochschule Esslingen) https://youtu.be/gdIAPx4gmbE

⇢德國工作&實習
▪︎ 德國互惠生：https://youtu.be/x2Zysm7-0yk
▪︎ 德國畢業賺多少：https://youtu.be/FzBh5MRSuO4
▪︎ 德國實習＆打工經驗：https://youtu.be/81CnfYIXJMA
▪︎ 德國軟體工程師：https://youtu.be/mY1K17nUzGU
▪︎ 瑞士Google工程師：https://youtu.be/7ly1ZCUldss

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