簡單地說, "自由度" 指的當然是如前面網友說的, 資料
允許自由變動的個數.

然而, 究竟要考慮甚麼資料? 為何要考慮 "平均數固定"?

顯然, 所謂 "自由度是允許自由變動的資料數" 是看起來
正確但並未解釋清楚的答案.

自由度, 幾乎 (即使不是全部) 都與 "變異量" 是直接有
關的. 在 t 統計量, 卡方(χ^2) 統計量, F 統計量, 有
提到 "自由度" 的地方都跟變異量有關.

變異量的基本形式是平方和.

單一樣本變異數是 n 個離均差 e_i = y_i - y_bar 的平
方和除以自由度; ANOVA 中各種平方和; 迴歸分析中的誤
差平方和、迴歸平方和及兩模型比較的額外平方和; 列聯
表卡方檢定統計量, 都是平方和為基礎的統計量, 都涉及
自由度.

假設一個統計量的基礎是某種平方和 Q = Σc_i(e_i)^2.
問: 在 c_i 都是正數的情況, 自由度是甚麼? 答案就是:
這些 e_i 有多少個可以自由變動? 單一樣本X_1,...,X_n
樣本平均數 Y=(X_1+...+X_n)/n 而 e_i = X_i - Y, 則
樣本變異數涉及的平方和是
Q = Σ(e_i)^2 with e_1 + ... + e_n = 0
因此有 n-1 個自由度. 簡單直線迴歸模型
Y_i = α + β x_i + ε_i, i=1,...,n
最小平方估計
Z_i = a + b x_i,
殘差 e_i = Y_i - Z_i. 則
迴歸平方和 = Σ(Z_i - Y_bar)^2
= (b^2)Σ(x_i-x_bar)^2
只有一個自由度, 只有 b^2 一個有效項,因 Z_i - Y_bar
各與 x_i - x_bar 成比例. 而殘差平方和 Σe_i^2 有 n
項, 但這 n 個 e_i 滿足
Σ e_i = 0 及 Σ(x_i e_i) = 0
兩個條件, 因此決定了其中 n-2 個, 另兩個值就可算出,
所以自由度是 n-2.



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