※ 引述《rich1119 (We)》之銘言：
: 請問
: 有人能用淺顯易懂的說法
: 跟我解釋mod為何嗎

我自己以前也對mod很困擾，現在有比較瞭解了，來解決你的疑惑

: a = b (mod 3)
: 以前初次接觸時
: 老師的說法是
: a 除以 3 餘 b

這說法不是很正確，可能是高中時候老師方便解釋而這樣說明

: 之後又聽到說
: 這個式子的意思是
: a 和 b 除以 3 會有相同的餘數

這個說法就對了

正式的定義：
Let m屬於正整數 且 m大於等於2 ， We say a is congruence to b modulo m,
and write a=b (mod m), if a and b yield the same remainder when divided by m.
↑這個一定要是三條槓，因為打不出來所以用等號代替

Ex: 16=11 (mod 5). Because 16=3*5+1 and 11=2*5+1. 餘數 1 = 1.

Ex: 16=1 (mod 5). Because 16=3*5+1 and 1=0*5+1. 餘數 1 = 1.

Ex: 16 =/= 8 (mod 5). Because 16=3*5+1 and 8=1*5+3, 餘數 1 =/= 3.

Ex: 16 = 8 (mod 8). Because 16=2*8+0 and 8=1*8+0, 餘數 0 = 0.

Ex: 16 = 0 (mod 8). Because 16=2*8+0 and 0=0*8+0, 餘數 0 = 0.

: 覺得對他的概念不太瞭解
: 希望有人能解釋
: 稍微補充問題
: 像
: a = b (mod 3) and a = b (mod 4)
: 則 a = b (mod 12)
: 或 a = b (mod 3) or a = b (mod 4)
: 則 a - b = 0,3,4,6,8,9 (mod 12)
: 像這樣我就還無法弄清楚為何
: 謝謝
這兩題都用到了mod的性質：(我們老師說下面這性質要記起來，幾乎都拿來當定義證明用)

For a, b 屬於整數 and m屬於正整數 且 m大於等於2,
a=b (mod m) <=> a-b=km for some k屬於整數
<=> m | a-b

這性質我就不證了，如果你需要證明，我再打給你看

你的問題：

1. Since a = b (mod 3) and a = b (mod 4),
then a-b=3k and a-b=4n where k, n 屬於整數.
=> a-b=12w where w 屬於整數.
=> a=b (mod 12).

簡單來說就是，a-b是3的倍數，也是4的倍數，所以a-b一定是12的倍數。
既然 a-b=12w ， 由性質反推得 a=b (mod 12)。

2. a-b = 0,3,4,6,8,9 (mod 12).
↑這是等號嗎？感覺這題怪怪的，有少條件嗎？

P.S. 如有錯誤再請高手更正，謝謝～

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