數學考科～鑑往知來，用觀念解問題 師大附中數學科 毛立甫老師

時序進入五月，距離指考也越來越近，今年要參加指考的考生同學們，你的複習計畫是
否有依進度執行呢？不管你的複習工作進行的是否順利，大部分的老師都會建議同學在
剩下的時間內能抽空做一下歷屆指考試題(九十一年至九十四年)，熟悉一下指考的題型
(單選、多選、選填與計算證明)，適應一下題目的敘述方式(尤其是需要讀圖查表甚至是
閱讀能力的題目似乎不少)，摸索一下應答應有的節奏(三年所學熟悉、不熟悉的全在一
張卷上)，這件事對考生總會有臨陣磨槍的效果。而筆者想藉著這次機會整理一下這四年
來的指考試題，對應高中數學的學習主題與重點，透過他們的並陳，來體現準備指考不
必做艱深的問題，只要掌握核心的數學觀念就可以把指考考好。

指考考試的內容涵蓋高一高二高三的課程內容。高中數學高一、高二共同學習的主題概
略分為數系、函數與方程、坐標幾何、排列組合與機率統計，透過數與形的題材，訓練
學生計算、推論、連結與解題等能力，指考的目標其實就是要藉由這些數學題材來考出
學生的這些能力。茲將高一、高二學習主題重點對應指考試題目如下(如有必要，會列學
測題目)：

一、 數系：

1. 因數倍數的相關概念，包含輾轉相除原理。
　相關考題有94乙填C，91學測填B。
2. 複數與複數平面的一一對應關係。
　相關考題有94甲選3。
3. 透過數列級數的學習，學會尋找或確立規則。
　相關考題有91乙填E、計三，92乙填B，94乙填B。

二、 函數與方程式：

1. 多項式
　(1) 四則運算。
　　相關考題有94學測填A。
　(2) 餘(因)式定理、一次因式檢定法與因式分解。
　　相關考題有93甲選1(並且代入求函數值)，95學測選9。
　(3) 一次與二次函數的圖形。
　 　相關考題有94甲選4。
　(4) 解方程式(包含因式分解)：
　　(A) 根與係數的關係。
　　　相關考題有93乙填A。
　　(B) 勘根定理。
　　　相關考題有91乙選1。
　　(C) 代數基本定理與實係數多項方程式的虛根成對定理。
　　　相關考題有93學測選11。
2. 指數函數與對數函數
　(1) 指數律、對數律與指數函數、對數函數的圖形(含比較大小)。
　　相關考題有92乙選7，92甲選4，93甲選2，94乙計二，94甲選1。
　(2) 估計(含科學記號，首數尾數，查表)
　　相關考題有91乙填A，93乙選3，94學測填H。
　(3) 與現實世界的連結
　　相關考題有93乙計二。
3. 三角函數
　(1) 三角函數的定義。
　　相關考題有90學測選4，93甲計一。
　(2) 邊角計算(正、餘弦定律)。
　　相關考題有91乙填C，91乙填F，91甲填A，92乙選6，92乙選6，
　　 92乙填D，92甲選1，93乙選1。
　(3) 三角函數的圖形
　　相關考題有93甲選4。
　(4) 和角公式(含疊合)
　　相關考題有94甲選2，95學測選4。
　(5) 複數的極式
　　相關考題有92乙選5。
4. 描述或確立函數關係
　相關考題有92乙選3、填A、填F，93乙填E。
5. 將解方程式f(x) = g(x)改視為求函數y = f(x)與y = g(x)交點的x坐標。
　相關考題有93甲填B。

三、 坐標幾何

1. 平面坐標系
　相關考題有93乙選2，94乙填D。
2. 向量(含線性組合，內積)
　相關考題有93學測選5、選9。
3. 空間觀念(含空間坐標系與向量)
　相關考題有91甲選1，92乙填G、H，92甲填A，93乙選5，93甲選3。
4. 空間中的直線、平面與球面(含一次方程組與行列式)
　相關考題有94乙選1，94乙填D，94甲選6。
5. 圓錐曲線
　相關考題有91乙填B，92乙填C，92甲選5、填C、填D，93甲計二，
　 94乙選4，94甲計二。

四、 排列組合與機率統計

1. 排列組合
　相關考題有91乙填D，93乙填B。
2. 古典機率
　相關考題有91乙計一，91甲計一，92乙選2，92甲選7、填B，
　 93乙選4、選6，填C，94乙計一，94甲填A、計一。
3. 統計
　相關考題有91乙選2，91甲選2，91甲選8，92乙選1、選4、選8，
　 94乙選2，選3。

在數乙部分，主題與重點對應指考試題目如下：

一、 機率與統計
二、 圖形的伸縮與平移
三、 矩陣
　　相關考題有92乙選5，94乙填E。
四、 不等式
　　相關考題都與線性規劃有關：91乙計二，92乙填E，93乙計一。
五、 幾何圖形
　　可以看出，數乙內容在指考佔的比例不大。

在數甲部分，主題與重點對應指考試題目如下：

一、 機率與統計
　　相關考題有91甲選6、選8，93甲選6，94甲選7。
二、 坐標變換
相關考題有91甲選4(其實這是一個考幾何直觀(對稱性)的題目)，
94甲選9(這題更玄，許多老師都引用Lambert定理為文探討這題，純為解題來看，
筆者的想法是設所求拋物線為ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f = 0，則b^2-4ac = 0，再將
三條切線代入得三個等於零的判別式，這四個方程式不能唯一決定6個係數的比例，
故“將有”無限多個如此的拋物線。)
三、 矩陣
　　相關考題有91甲選5，92甲選3、93甲選7、選8，94甲選8。
四、 不等式
　　相關考題有91甲選3、填B，92甲選6，93甲填A。
五、 極限
　　相關考題有91甲填C、計二，92甲選5、選8，93甲選5，94甲填B。

要特別提醒大家的是，以上的考題常常需要有基礎的解題觀念輔助我們應答(比如解
92甲填D要用到點到平面的距離公式)。筆者也並非要以分類來涵括所有的考題，比方
解91甲選5時既要知道三角函數的對應取值範圍，也要了解算幾不等式等號成立的條件
；92甲選2其實只是個國中代數題；92甲填B可以用樹形圖來討論，也可以用轉移矩陣
來解；94乙填A可以用餘弦定律，也可用坐標幾何(向量)來解；94甲選5只要國中的幾
何知識即可解決；許多選擇題常在不同的選項考到不同主題內容的考題(甚至像94數乙
計二)。這些不在分類架構內的考題並非難題，卻顯現考生在考試的時候應靈活地而非
制式地去解題。也由於這些題目仍需從以上所列的觀念著手去解，所以要建議各位考
生在最後關頭所要做的複習工作是：用觀念解問題。在練習指考題目時，若能用觀念
去試解每個問題，然後去歸納你的解題心得，去解你最近所做到的其他問題，再加強
你的心得，並用在指考裡，相信大家在指考時會考出一番好成績。

--
○ ╭─────╮┌─────┐┌┐┌───┐ ○
ο │ ╭╮∣╰┐ ┌╯∣└╯ ∣ ○
ο │ C │└╯ ∣ CIH ∣ ∣ ∣ ο
。│ │┌╮ ∣ ∣ ∣ ∣ ο
. │ ╰╯∣╭┘ └╮∣┌┐ H∣. 。
╰─────╯└─────┘└╯└───╯ .

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 203.73.254.13