原文43


我覺得你不能用(反微分)積分這種東西來說，不然解釋半天你也不會相信


原 PO 就先假裝不知道這個對數 ln 指數 e 往下看吧 :)




f(x+h) - f(x)
導函數的定義是 f'(x) = lim ──────
h→0 h



既然 三角函數 多項式函數 我都可以帶這個定義來求導函數


那對數呢??


x
f(x) = log f'(x) = ???
a


當然囉帶入定義吧~

(x + h) x
log - log
a a
f'(x) = lim ───────────
h→0 h



因為對數律 相減 變成 相除

x + h
(────)
log x
a
f'(x) = lim ───────────
h→0 h



因為對數律 外面相乘 變成 次方


1
──
h h
(1 + ──)
= lim log x
h→0 a


h 1 x
感覺有點怪怪的 裡面有 ── ， 外面只有 ── 。 那我讓他乘 ──
x h x

1
──
h h
x (1 + ──)
= lim ── log x
h→0 x a


↑ 反正乘 1 結果不會變 。 所以乘個 x 就要除個 x




利用對數律，把分子的 x 移進去次方裡面


x
──
h h
1 (1 + ──)
= lim ── log x
h→0 x a



這時候產生了一個非常神奇的東西 e


1/h
請問 lim (1 + h) = ???
h→0


有人說， 1 加上微量，然後在乘上無窮次方還是 1


有人說， 不對! 1 加上微量的無窮次方，然後算出來會變成 2


有人又說，錯錯錯! 1 + 微小擾動的無窮次方，會造成無限大


啾~~~~~~靜!誰才是對的呢?


這時候 Euler 就跑出來叫啦~


他說，這個簡單，利用二項式展開


m m m n m m m 2 m 3 m n
(1 + x) = Σ C x = C + C x + C x + C x + ... + C x + ...
n=0 n 0 1 2 3 n



C 就是算組合數


m m!
C = ───── ( ! 表示 階乘 )
n (m-n!)(n!)




所以依照二項式定理

1/h (1/h)! (1/h)! (1/h)! 2
(1 + h) = ──── + ───── (h) + ───── h + ...
0!(1/h)! 1!(1/h-1)! 2!(1/h-2)!


1 1 1
= ── + ── + ── + ...
0! 1! 2!


1 1 1 1 1 1
= ── + ── + ── + ── + ── + ── +...
0! 1! 2! 3! 4! 5!


= 2.718281828...


然而這個數字我們就簡略以 e 來代替




---回到這個式子

x
──
h h
1 (1 + ──)
= lim ── log x
h→0 x a



我可以知道上面那串可以寫成 e 這個常數


e
log
a 1 x
= ─── = ──── (其中 log 寫成自然對數 ln )
x x lna e



這下好啦 ! 我知道對數微分了



那我好像知道一件事情了!



n 1 n + 1
平常的多項式積分 ∫ x dx = ── x + C
n + 1


但是遇到 n = -1 就不能運算了!



1
還好今天我看到對數的微分等於 ──── (其中 ln a 又是常數)
x lna



那我要如何把 ln a 改成 1 呢 ???



很簡單! 只要把"真數"與"底數"寫成一樣的時候就會等於 1 了。



那我 ln a 的底數，就是 2.718281828.... = e


1
那我也把真數 a 令為 e 就會得到 ── 了
x


x 1
那我既然 D log = ────
a x lna


a = e 的時候??


x 1
D log = ──── ??
e x


1
d( ln x) = ─── dx
x



原PO的問題就迎刃而解啦!!!


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